x2y2都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线2?2?1写出具有类似
ab特性的性质，并加以证明．
111?133x)?x3?x32．已知函数
f(x)?x?x?5,g(5
（1）证明
f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间.
（2）分别计算
f(4)?5f(2)g(2)和f(9)?5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)
和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明. 3.非负实数x1、x2、x3、x4满足：x1+x2+x3+x4=a（a为定值，a>0） （1）若x1+x2≤1，证明：1?x1?1?x2?1?x1?x2?1
（2）求1?x1?1?x2?1?x3?1?x4的最小值，并说明何时取到最小值.
4．已知
f(x)?(x?1)2,g(x)?4(x?1)，数列?an?满足a1?2,(an?1?an)g(an)?f(an)?0．
（1）用an表示an?1；
（2）求证：?an?1?是等比数列；
（3）若bn?3f(an)?g(an?1)，求?bn?的最大项和最小项．
．如图，MN是椭圆Cx2y251：a2?b2?1(a?b?0)的一条弦，A（－2,1）
MN的中点，以A为焦点，以椭圆C1的左准线l为相应准线的双曲线C2与直线
交于点B（－4，－1）。设曲线C1、C2的离心率分别为e1、e2。 （1）试求e1的值，并用a表示双曲线C2的离心率e2； （2）当e1e2=1时，求|MB|的值。 6．已知函数
f(x)?2sinx(sinx?cosx)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[?π2，π2]上的图像． 当前第 26 页共33页
是
MN
x2y2x2y27.已知双曲线2?2?1(a?b?0)右支上一点P在x轴上方，A、B分别是椭圆2?2?1的左、右顶点，
abab连结AP交椭圆于点C，连结PB并延长交椭圆于D，若△ACD与△的面积恰好相等．
（1）求直线PD的斜率及直线CD的倾角；
（2）当双曲线的离心率为何值时，CD恰好过椭圆的右焦点？ 8. 如图．已知斜三棱柱ABC-PCD
y P C A 0 D B A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与
x 底面
πABC所成角为
3，且侧面
ABB1A1垂直于底面ABC．
（1）求证：点B1在平面ABC上的射影为AB的中点； （2）求二面角C-AB1-B的大小；
（3）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论．
9. 如图所示，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求标．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O为原点，且OA＝a，OB＝b，OCAB和点B的坐
＝c，OD＝d，E在BA上，且BE∶EA＝1∶3，F在BD上，且BF∶FD＝1∶4，用a，b，c，d分别表示OE、OF、
EF、EC，并判断E、F、C三点是否共线．
11. △ABC中，|BC|?a，|AC|?b，a，b是方程x2?23x?2?0的两根，且2cos（A＋B）＝1．求：
（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）S?ABC 12. 已知二次函数
f(x)的二次项系数为负，对任意实数
x都有
f(2?x)?f(2?x)，问当f(1?2x2)与
f(1?2x?x2)满足什么条件时才有-2＜x＜0？
题型示例答案 一、 选择题
1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、 填空题 1. 902.
0
123. 1023 4. 1 5.
26. ①③④7. ①②③④⑤8. 4 2三、解答题
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22xy1. （1）椭圆C的方程为??1，焦点F1(-1,0)、F2(1,0)； 432124y2b（2）(x?)?（3）定值为 kPM??1 ；kPN?2 23a13?1313?132. （1）证明 函数定义域为{x|x?0且x?R},?f(?x)?(?x)?(?x)5??x?x5??f(x)
∴
f(x)为奇函数.
111111??11313 设o?x1?x2,则f(x1)?f(x2)?(x13?x13)?(x2?x23)?(x13?x2)555(1?1xx131132)?0,?f(x)在(0,??)上是增函数，又f(x)是奇函数.
∴f(x)在（－∞，0）上也是增函数.
（2）解 f(4)?5f(2)g(2)?0,f(9)?5f(3)g(3)?0,猜想：f(x2)?5f(x)g(x)?0
x?x?f(x)?5f(x)g(x)?5223?23x?x?5?513?13x?x?513?13??11?(x3?x3)?(x3?x3)?0 5522223. 证：（1）?x1?0,x2?0,x1?x2?1,?1?x1?0,1?x2?0,1?x1?x2?0
要证1?x1?1?x2?1?x1?x2?1， 只要让(1?x1?1?x2)2?(1?x1?x2?1)2 即证：2?x1?x2?21?x1?x2?x1x2?2?x1?x2?21?x1?x2
只要证：x1x2?0 ?x1x2?0成立，故原不等式也成立。
解（2）从（1）的证明过程可知当x1?0,x2?0,1?x1?1?x2?1?x1?x2?1成立 ，等号当x1?0或x2?0时取到．
?1?x1?1?x2?1?x3?1?x4?
1?x1?x2?1?1?x3?1?x4?1?x1?x2?x3?2?1?x4?1?x1?x2?x3?x4?3?1?a?3
等号当x1?x2?x3?0,x4?a取到。
4. 解：（1）因为(an?1?an)g(an)?f(an)?0,g(an)?4(an?1)
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f(an)?(an?1)2 所以(an?1)(3an?4an?1?1)?0，又a1?2，所以an?1?3an?1
44313an??1(an?1)344（2）因为an?1?1?4??
an?1an?1an?14所以，
?an?1?是以a1?1?1为首项，公比为
3的等比数列． 4（3）由（2）可知，a?1?(3)n?1， 所以an?(3)n?1?1，
n4432n?1?3n?4n?133从而bn??3?()n?1[()n?1?1]． 2n?244433133y?()x为减函数，所以bn中最大项为b1＝0． 又bn＝3[()n?1?]2???，
442443n?113n?11而此时n不为整数才能有()?，所以只须考虑()接近于．
2424
3n?19113n?12715当n=3时，()＝与相差；当n=4时，()＝与相差，
41621646464251189而＞，所以bn中项b3??． 6416256因
5.解（1）［法一］由A（－2,1），B（－4，－1）得直线AB即直线MN方程为y=x+3，代入椭圆C1的方程并整理，得(a+b)x+6ax+9a－ab＝0 (*)
2
2
2
2
2
22
6a2 设M（x1,y1），N(x2,y2)，则 x1＋x2＝－2 2a?b6a2??4得a2=2b2, ∵A（－2,1）是弦MN的中点，∴x1+x2=-4，故由?22a?bc2?. a2a2 ∵A为C2的焦点，且相应准线l方程为x??，即x??2a，过B作BB0⊥l于B0，则由双曲线定义知，
c又b=a－c，∴a=
2
2
2
2c，从而椭圆离心率e1=
222e2=|BA|?(?2?4)?(1?1)?22?.
|BB0||?4?(?2a)||2a?4||a?22|(i)?x12y12??1? 法二：设M（x1，y1）,N（x2,y2）,则x1+x2＝4，y1+y2＝2,且?a2b2 ，
?22?x2?y2?1(ii)??a2b2 当前第 29 页共33页
（i）－（ii）得
(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0，
∴kMNy1?y22b21?1???2?kAB???1，以下同法一。 x1?x22?4a?22?2，∴a?32或2。 ，e1e2?1得e2?2，即
2|a?22|2
（2）由e1x2y2??1； 当a?32时，b=9，椭圆方程为189当a?2时，b2=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；
（另法：此时A（－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN中点，舍去）
x2y2??1。 ∴椭圆C1方程只能为189以下法一：将a=18,b=9，代入（*）得x+4x=0，∴x1+x2＝－4，x1x2＝0，
2 ∴|MN|＝(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?kAB)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?1)[(?4)2?0]?42，
2
2
2
又|AB|＝(?2?4)2?(1?1)2?22 ∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝
1|MN|+|AB|＝22?22?42. 2以下法二：具体求出M、N点的坐标。
x2y2??1上，即B与N重合，从而|MB|＝|MN|，故转化为求弦长|MN|以下法三：先验证点B（－4，－1）在椭圆189即可。
6. 解：（1）f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2xcosπππ?cos2xsin)?1?2sin(2x?) 444 所以函数
f(x)的最小正周期为π，最大值为1?2．
3π 81 （2）由（1）知
x y 故函数
??π 8π 81 3π8 5π81 1?2 1?2 y?f(x)在区间[?ππ，]上的图像是 22 当前第 30 页共33页