那么这个长方体的体积是多少立方分米？
2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？
3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？
4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？ 5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？ （2）两个质数的积能是质数吗？
（3）两个合数的和仍是合数吗？
（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？
（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？
6.求不大于100的约数最多的自然数。
7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。
第12讲 最大公约数与最小公倍数（一）
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，?，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）
小学奥数基础教程（五年级） =3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，?，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
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498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。 例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。 例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在
小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
练习12
1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？
2.两个小于150的数的积是
小学奥数基础教程（五年级） 2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？
4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？
5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？ 6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？
7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。 第13讲 最大公约数与最小公倍数（二）
这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×[18，12]
=（2×3）×（2×3×3×2） =（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。
也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12
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换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，
（a，b）×[a，b]=a×b。 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。 例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是 7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。 因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时，
b=（a，b）×[a，b]÷a
=12×120÷60=24； 当a=120时，
b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。
所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。
要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？
分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80， （150，135，80）=5。 上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装
在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。
如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。
由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法： （1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母
小学奥数基础教程（五年级） 的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。 如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。 求一组分数的最小公倍数的方法： （1）先将各个分数化为假分数； （2）求出各个分数的分子的最小公倍数a； （3）求出各个分数的分母的最大公约数b；
一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？
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同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为
所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。
黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了 练习13 1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。 2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？ 3.求下列各组分数的最大公约数：
4.求下列各组分数的最小公倍数：
部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？
于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。
第14讲 余数问题
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）： （1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；
除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。 （3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余
小学奥数基础教程（五年级） 数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056，
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+余数
=除数×33+52，
被除数=2143-除数-商-余数 =2143-除数-33-52 =2058-除数，
所以 除数×33+52=2058-除数，
所以 除数=（2058-52）÷34=59，
被除数=2058-59=1999。 答：被除数是1999，除数是59。
例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为 甲=乙×11+32， 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
甲=1088-乙=1000。
答：甲数是1000，乙数是88。
例4 有一个整数，用它去除- 19 -
70，110，160得到的三个余数之
和是50。求这个数。
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16??2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1??52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
例5 求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9??1。
所求余数是1。 例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照
片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
（11×25）÷36=7??23， 即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。 练习14
1.今天是星期六，再过1000天是星期几？
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余数。 3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。 4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。
5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。
6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。
7.2000年五月有5个星期三、4个星期四，这个月的一日是星期几？
第15讲 孙子问题与逐步约束法 在古书《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。
我们称这类问题为孙子问题。 例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。 小学奥数基础教程（五年级） 分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。 满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，? 在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有
8，23，38，53，68，?
在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”“、除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。
例2 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，? 在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有
31，66，101，136，171，206，?
在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。 - 20 -
在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。 例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，? 再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，? 再满足“除以11余4”的数有59。
因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43??8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。
例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是 [6，8，9]-3=72-3=69。 例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？
分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。 这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。
当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。
因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是