往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。 例1 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？
分析与解：如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，12分钟相遇”的相遇问题，所以每分钟两人一共行1800÷12=150（米）。
如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，75分钟后甲追上乙”的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）。 再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米）， 出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）。 例2 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？ 分析与解：如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。 小学奥数基础教程（五年级） 由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）； 小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）； 在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。
由例1、例2看出，将较复
杂的综合问题分解为若干个单
一问题，可以达到化难为易的目的。
例3 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公
共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？ 分析与解：这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。 假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于[7，9]=63。这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为 例4 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端
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出发，来回共游了11分钟，如
果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？ 分析与解：甲游一个单程需
30÷1=30（秒），乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。 以2.5分钟为一个周期，11
分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。
例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。
例5甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
分析与解：本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。
如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时
山顶的距离是
练习26 1.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？ 2.红星小学组织学生排成队步行去郊游，步行的速度是1米/秒，队尾的王老师以2.5米/秒的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度。 3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。 4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？ 6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农小学奥数基础教程（五年级） 民。问：工人与农民何时相遇？ 7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5
千米，她就早到车站12分钟。
小红家离火车站多少千米？ 第27讲 逻辑问题（一） 四年级已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。 逻辑推理必须遵守四条基本规律： （1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。 （2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。 （3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。 （4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。 我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“√”与“×”只有一个成立，
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就是利用了排中律。
例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：
（1）英语老师和数学老师是邻居；
（2）王仁年纪最小；
（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；
（4）体育老师比语文老师年龄大；
（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。 请判断各人分别教的是哪两门课程。
分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。
由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表
由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。 由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。
所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。
以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。 例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。 例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道： （1）小明不在一小； （2）小芳不在二小；
（3）爱好乒乓球的不在三小；
（4）爱好游泳的在一小； （5）爱好游泳的不是小芳。
小学奥数基础教程（五年级） 问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？
分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。 由表4、表2知道，爱好游泳的
在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。
例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。
例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、
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五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”
请判断这一天是星期几。 分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。
由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。
例4 A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。 A：“C，D两人中有人做了好事。” B：“C做了好事，我没做。” C：“A，D中只有一人做了好事。” D：“B说的是事实。”
最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？
分析与解：我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而
C没做好事时，B说的话都与事实有出入。
因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1）假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。
（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。
综上所述，做好事的是B与D。 练习27
1.A，B，C，D，E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。 A说：“我坐在B的旁边。” B说：“坐在我左边的不是C就是D。” C说：“我挨着D。” D说：“C坐在B的右边。” 实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？ 2.从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：
（1）A，B两种产品中至少选一种；
（2）A，D两种产品不能同时入选；
（3）A，E，F三种产品中要选两种；
（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；
（5）C，D两种产品中选一种；
（6）若D种产品不入选，小学奥数基础教程（五年级） 则E种也不能入选。
问：哪几种产品被选中参展？
3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。
（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；
（2）老张的女儿不是小红； （3）老陈和方丽不是一家人。
请你将三户人家区分开。 4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：
（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；
（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；
（3）乙不是工人。
求这三人各自的籍贯和职业。
5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：
（1）三人都说谎； （2）三人都不说谎；
（3）三人中只有一人说谎； （4）三人中只有一人不说谎。
6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。 第28讲 逻辑问题（二）
例1老师拿来五顶帽子，两顶红的三顶白的。他让三个聪明的同学甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们各戴上一顶帽子，同时把余下的帽子藏起
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来。当他们睁开眼后，乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色，而站在最前面的甲却根据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色。
甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？
分析与解：这是一个典型的逻辑推理问题。甲站在最前面，虽然看不见任何一顶帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子，因为一共只有两顶红帽子，那么丙就会判断出自己戴的是白帽子。丙判断不出自己戴的帽子的颜色，说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红。
甲接着想：乙也很聪明，当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色时，他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时，如果他看到我戴是红帽子，那么他就会知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子时，他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以，我戴的一定是白帽子。 例1中，甲的分析非常精采，严密而无懈可击。
例2三个盒子各装两个球，分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个白球。封装后，发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许打开一个盒子，拿出其中一个球看，那么能把标签全部纠正过来吗？
分析与解：因为“三个盒子的标签全部贴错”了，贴错的情况见下图（○表示白球，●表示黑球）:
如果从标签是两黑的盒子中拿一个球，那么最不利的情况是拿出一个白球，此时无法判定是实际情况1，还是实际情况2，
小学奥数基础教程（五年级） 也就无法把标签全部纠正过来； 只赛一盘。规定胜者得2分，负 同理，从标签是两白的盒子者不得分。现在知道的比赛结果中拿一个球，若拿的是黑球，则是：A与B并列第一名（有两个也无法把标签全部纠正过来； 并列第一名，就不再设第二名， 从标签是一黑一白的盒子下一个名次规定为第三名），D比中拿出一个球，若拿出的是黑C的名次高，每个人都至少胜了球，则能确定出是实际情况1，一盘。试求每人的得分。
若拿出的是白球，则能确定出是 分析与解：因为乒乓球比赛实际情况2，因此能把标签全部没有平局，所以求胜的盘数与得纠正过来。
分是一回事，胜的盘数乘以2就 所以，只要从标签是一黑一是得分。五人进行循环赛，共需白的盒子中拿一个球，就能纠正赛10盘，总得分是2×10= 20全部标签。
（分）。
例3 A，B，C三名同学参加 因为每人都赛4盘，所以第了一次标准化考试，试题共10一名最多胜4盘，但因为A，B道，都是正误题，每道题10分，并列第一，A，B不可能都胜4满分为100分。正确画“√”，盘，所以A，B最多各胜3盘。错误画“×”。他们的答卷如下如果A，B没有各胜3盘，而是表：
各胜2盘，那么剩下的10-2×2= 6（盘）的胜利者只会是C，D，E，根据抽屉原理，C，D，E三人中至少有1人胜了至少2盘，与第一名胜2盘矛盾。所以，A，B各胜3盘，各得6分。 还有4盘，已知D比C名次
考试成绩公布后，三人都得高，每个人都至少胜一盘，只能70分。请你给出各题的正确答是D胜2盘得4分，C，E各胜一案。 盘，各得2分。 分析与解：我们先分析一下 注意：题目中“每个人都至三人的得分情况。因为三人都得少胜一盘”是制约结果的重要条70分，所以每人都错了3道题。件，如果没有这个条件，那么该比较A，B的答卷发现，他们有6题的结果就有两种可能：一是A，道题的答案不一样，说明这6道B各胜3盘，各得6分，D胜2题A，B两人各错3道，也就是盘得4分，C，E各胜1盘，各得说，A，B答案相同的题都对了，2分；二是A，B各胜3盘，各得因此找到了第1，3，4，10题的6分，D，E各胜2盘各得4分，正确答案。同理，A，C的答卷也C胜0盘，得0分。
有6道题的答案不一样，因此找
到了第3，6，8，9题的正确答练习28 案；同理B，C的答卷也有6道 1.有个老汉想考考他的四个题的答案不一样，因此找到了第聪明的儿子，他拿出六顶帽子，2，3，5，7题的正确答案。各题三顶红的、两顶蓝的和一顶黄的正确答案如下表： 的。然后，让四个儿子按大的在
前小的在后的顺序排成一路纵队，并让他们闭上眼睛。接着， 给他们每人戴上一顶帽子，藏起
例4 A，B，C，D，E五位选其余两顶。当他们睁开眼睛后，手进行乒乓球循环赛，每两人都每个人都只能看见前边人的帽
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子。这时，老汉依次问小儿子、
三儿子和二儿子，“你戴的帽子是什么颜色？”他们都回答“不知道”。最后，老汉又问大儿子。大儿子想了一会儿，正确地说出了自己戴的帽子的颜色。
问：大儿子戴的帽子是什么颜色？他是如何判断的？
2.五年级有四个班，每个班有两名班长，每次召开年级班长会议时各班参加一名班长。参加第一次会议的是A，B，C，D，参加第二次会议的是E，B，F，D，参加第三次会议的是A，E，B，G。已知H三次会都没参加，请问每个班各是哪两位班长？ 3.甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是1号至4号。一个专说谎话的人说：“乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙的中间，乙的座位不是3号。”问：坐在2号座位上的是谁？
4.李大娘问三位青年人的年龄。
小张说：“我22岁。比小吴小2岁。比小徐大1岁。” 小吴说：“我不是年龄最小的。小徐和我差3岁。小徐25岁。”
小徐说：“我比小张年龄小。小张23岁。小吴比小张大3岁。” 这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。李大娘难辩真真假假，请你帮助李大娘弄清这三人的年龄。 5. A，B，C三支足球队举行循环比赛（每队之间赛一场），下面是记有详细比赛情况的表。但后来发现表中有四个数是错误的。请按规定重制一张正确的表格。（胜一场记2分，负一场记0分，平一场双方各记1分。）