方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。
所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。
就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。
根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如： x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；
3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；
3x+2y=1没有解。
例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。
解：容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。
因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：
由例5、例6看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。 练习15
1.一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。
2.有一堆苹果，3个3个数
小学奥数基础教程（五年级） 余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？
3.在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？ 4.在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然数有多少个？
5.有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。
6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？
7.五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？ 第16讲 巧算24
同学们可能都玩过“数学24”的游戏，它把枯燥的基本数字计算变得趣味盎然，能大大提高计算能力和速度，使得思维灵活敏捷，是一种寓教于乐的智力竞赛游戏。
游戏规则：给定四个自然数，通过+，-，×，÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是24。
“数学24”游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1～13范围内了。“数学24”游戏可以1个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿掉，剩下的52张牌洗好后，每人分13张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中J，Q，K分别代表11，12和13，四张牌表示四个自然数。谁最先按游戏规则算出24，就把这四张牌赢走。然后继续进行。最后谁的牌最多谁获胜。
要想算得又快又准，这就要靠平时的基本功了。最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法- 21 -
口诀，二是利用括号。括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。
请用下面例题中给出的四个数，按规则算出24。 例1 3，3，5，6。
解一：根据3×8=24，3已有，将另三个数凑成8，得3×（5+6-3）=24。
解二：根据6×4=24，6已有，将另三个数凑成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。
解三：还是根据3×8=24，把3和8各分成两数，得（6-3）×（3+5）=24。
解四：先把其中两数相乘，积不足24的用另两数补足，得3×5+3+6=24。
解五：先把其中两数相乘，积超过24的用另两数割去，得5×6-3-3=24。
例2 2，2，4，8。
解一：根据8×3=24，得8×[（2+4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。
解二：根据4×6=24，得4×（2+8÷2）=24。
解三：根据2×12=24，得2×（2×8-4）=24。
解四：根据8+16=24，8已有，将另三个数凑成16，得8+2×2×4=24或8+（2+2）×4=24。 解五：根据8+16=24，把8和16各分成两数，得2×4+2×8=24。
解六：根据4+20=24，4已有，将另三个数凑成20，得4+2×（2+8）=24。
具体玩法很多，在这里特别要注意的是：2×12，3×8，4×6是三个最基本的算式，在玩的过程中，你可以先固定某数为一个因数，看另三个数能否凑成相应的另一个因数。你也可以把每一个因数分别看成由两个数凑成。下面，我们借助“乘法分配律”来玩“数学24”游戏。
例3 1，4，4，5。
分析：很明显，我们看到4×（1+5）=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个4没有用过。根据规则，必须把这个4也用进去，怎么办？怎样把这个多余的4用到算式里面而又不影响得数呢？
解：利用“乘法分配律”：4×（1+5）=4×1+4×5=24。 例4 6，8，8，9。
解：8×（9-6）=8×9-8×6=24。
例5 5，7，12，12。
解：12×（7-5）=12×7-12×5=24。
在例3～例5中，我们利用了：
a×（b+c）=a×b+a×c， a×（b-c）=a×b-a×c。 例6 2，2，6，9。
分析：很明显，我们看到2×9+6=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个2没有用过。根据规则，必须把这个2也用进去，怎样把这个多余的2用到算式里面而又不影响得数呢？
解：利用“乘法分配律”：24=2×9+6=2×9+6÷2×2=2×（9+6÷2）。
例7 2，6，9，9。
解： 24=2×9+6=2×9+6÷9×9
=9×（2+6÷9） 例8 2，4，10，10。
解： 24=2×10+4=2×10+4÷10×10
=10×（2+4÷10）。 在例6～例8中，我们利用了
a×b+c＝a×（b+c÷a）， a×b-c＝a×（b-c÷a）。 我们知道，符合“数学24”游戏规则的每个具体算式中，一定要出现四个数和三个运算符号。也就是说，一定要进行三次运算，出现三个运算结果。其中
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前两次结果是运算过程中的中后，乘法基本算式就增加了许间结果，第三次即最后一次的运多：
算结果必须是24。
当我们还是小学低年级的学生时，由于知识水平所限，解题总是围绕运算结果是整数展
开讨论。当我们升入小学高年 在这些分数乘法基本算式级，接触到分数以后，我们的眼中，固定的一个因数只能是5，7，界变得开阔了，就可以打破整数9，10，
这个框框，允许前两次的运算结果出现分数，这样，我们将会找到更多的、更好的思考办法。 例9 1，5，5，5。
至此，应用乘法玩“数学24”游戏的过程才是完整的。
下面，我们再来看看用分数除法来玩“数学24”游戏。 例10 3，3，8，8。
8÷（3-8÷3）=24。
有效的思考办法。
例11 1，4，5，6。
由上面的算式可以看出，我们以前接触的仅仅是其中的2× 12，3×8，4×6三个整数乘法基本算式。现在我们学了分数以
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在解题过程中，我们先想到基本算式
5，5，10；
（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。
3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；
（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；
（5）3，4，6，13； （6）
下面，我们利用位值原则解
决一些整数问题。
成。这是基本的思考办法。 一般地，应用分数除法玩“数学24”游戏的思考过程为：
固定的一个自然数只能是被除数，除数恰好由另外三个自然数凑成。 另外，我们还是要强调一下分数除法与分数乘法的相同处与不同处。学了分数以后，除法运算可以转化成乘法运算。因此，在玩“数学24”游戏的过程中，很多除法算式可以转化到乘法算式中去。但是它们之间还是有区别
握用分数除法这种工具来玩“数学24”游戏是必不可少的。
练习 16
用给出的四个数，按规则算出24。 1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7； （3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8； （5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。 2.（1） 2，7，7，10； （2）
3，5，5，9；
（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12； （5）4，4，5，5； （6）2，1，8，12，12； （7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。
第17讲 位值原则
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。 我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，
即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。 用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如： 其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。 例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。由题意得到
（10x+1）-（100+x）=666， 10x+1-100-x=666， 10x-x=666-1+100， 9x=765， x=85。
原来的两位数是85。
例3 a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六
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个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用a，b，c组成要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
分析与解：将两个自然数的原来的三位数，求原来的三位
数。
分析与解：设原来的三位数的六个不同数字是
的三个数字分别是a，b，c。若
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经 验证，只有495符合题意，即原
来的三位数是495。 练习17 1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。 这六个数的和等于将六个数的 2.有一个三位数，将数码1百位、十位、个位分别相加，得加在它的前面可以得到一个四到 位数，将数码3加在它的后面也 所以，六个数的和是（a+b+c）可以得到一个四位数，这两个四的222倍。 位数之差是2351，求原来的三位 例4用2，8，7三张数字卡数。 片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222， 所以平均值是（2+8+7）× 5.从1～9中取出三个数码，
222÷6=629。 用这三个数码组成的六个不同 例5一个两位数，各位数字的三位数之和是3330。这六个三的和的5倍比原数大6，求这个位数中最小的能是几？最大的两位数。 能是几？ 6.一个两位数，各位数字的 和的6倍比原数小9，求这个两 （a+b）×5-（10a+b）=6， 位数。 5a+5b-10a-b=6， 7.一个三位数，抹去它的首 4b-5a=6。 位数之后剩下的两位数的4倍比 当b=4，a=2或b=9，a=6时，原三位数大1，求这个三位数。 4b-5a=6成立，所以这个两位数 第18讲 最大最小 是24或69。 同学们在学习中经常能碰 例6将一个三位数的数字重到求最大最小或最多最少的问新排列，在所得到的三位数中，题，这一讲就来讲解这个问题。用最大的减去最小的，正好等于 例1两个自然数的和是15，和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换
律，有下面7种情况：
15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。 由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。 结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。
例2比较下面两个乘积的大小： a=57128463×87596512， b=57128460×87596515。 分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所
以它们的两因数之和相等，即
57128463+87596512=57128460+87596515。 因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。
例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的
最大面积是多少？ 分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为 长+宽=36÷2=18（米）， 由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米2）。 例3说明，周长一定的长方
形中，正方形的面积最大。
例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况： 48=1×48，1+48=49； 48=2×24，2+24=26； 48=3×16，3+16=19； 48=4×12，4+12=16； 48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论2两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
解：将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。由结论2，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）。 答：围墙最少长34米。 例6把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
分析与解：假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。 如果分成的自然数中有4，
小学奥数基础教程（五年级） 因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。 由例6的分析得到：
结论3把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。
例7把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？
解：根据结论3，由49=3×15+2+2，所以最大的积是
练习18 1.试求和是91，乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？
之和的最小值是多少？ 3.比较下面两个乘积的大小：
123456789×987654321， 123456788×987654322。 4.现计划用围墙围起一块面积为5544米2的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？
5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？
6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这
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两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
7.在数123456789101112?9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？最小是多少？ 第19讲 图形的分割与拼接 怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。 分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。
方法二：画出某一边的中
线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。 方法三：找出三条边上的中
点，然后如左下图所示连结。
方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。
例2将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解：因为图中共有15