小学奥数基础教程（五年级） - 31 -
分之和就是40厘米2（见左下图）。
5.下图是甲、乙两个正方形，
甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，
正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。
分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部
C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。 练习22
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1） （2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
第23讲 列方程解应用题
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。 例1商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双？
分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10， 7.5x-271.4+5.9x=10， 13.4x=281.4， x=21。
小学奥数基础教程（五年级） - 32 -
答：胶鞋有21双。
分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以
分析与解一：用直接设元
法。设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程 80x-40=（30x+40）×2， 80x-40=60x+80， 20x=120， x=6（座）。
分析与解二：用间接设元法。设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）×80=（2x+40）×
30，
80x-3200=60x+1200， 20x=4400，
x=220（米3）。 由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。 同理，也可设有红砖x米3。留给同学们做练习。
例4教室里有若干学生，走 了10个女生后，男生是女生人
答：袋中共有74个球。 数的2倍，又走了9个男生后， 在例1中，求胶鞋有多少双，女生是男生人数的5倍。问：最我们设胶鞋有x双；在例2中，初有多少个女生？ 求袋中共有多少个球，我们设红 分析与解：设最初有x个女球有x个，求出红球个数后，再生，则男生最初有（x-10）×2求共有多少个球。像例1那样，个。根据走了10个女生、9个男直接设题目所求的未知数为x，生后，女生是男生人数的5倍，即求什么设什么，这种方法叫直可列方程 接设元法；像例2那样，为解题 x-10=[（x-10）×2-9]×5， 方便，不直接设题目所求的未知 x-10=（2x-29）×5， 数，而间接设题目中另外一个未 x-10=10x-145， 知数为x，这种方法叫间接设元 9x=135， 法。具体采用哪种方法，要看哪 x=15（个）。 种方法简便。在小学阶段，大多 例5一群学生进行篮球投篮数题目可以使用直接设元法。 测验，每人投10次，按每人进 例3某建筑公司有红、灰两球数统计的部分情况如下表： 种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，灰砖 还知道至少投进3个球的人30米3，那么，红砖缺40米3，平均投进6个球，投进不到8个灰砖剩40米3。问：计划修建住球的人平均投进3个球。问：共宅多少座？ 有多少人参加测验？
分析与解：设有x人参加测
验。由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
= 5+8+6×（x-16） = 6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数， 3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，
= 3×（x-8）+24+36+10 = 3x+46。 由此可得方程 6x-83=3x+46， 3x=129， x=43（人）。
例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。
分析与解：设每人可免费携带x千克行李。一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程 4÷（150-3x）=8÷（150-x）， 4×（150-x）=8×（150-3x）， 600-4x=1200-24x， 20x=600，
x=30（千克）。 练习23
还剩60元。问：甲、乙二人各有存款多少元？
有多少溶液？ 3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？ 4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？ 5.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？
含金多少克？ 7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊小学奥数基础教程（五年级） 与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？
第24讲 行程问题（一）
路程、时间、速度是行程问
题的三个基本量，它们之间的关系如下：
路程=时间×速度， 时间=路程÷速度， 速度=路程÷时间。
这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。 例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长
5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车？ 分析与解：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。 故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。 例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。 假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千
米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是
- 33 -
20÷（15-10）=4（时）。
由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是 15×4=60（千米）。
要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为 60÷（12-7）=12（千米/时）。 例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？
分析与解：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。
在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。
综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。 例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。问：小明往返一趟共行了多少千米？
分析与解：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需
要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。
因为上山、下山各走1千米共需
所以上山、下山的总路程为 在行程问题中，还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间。 例如，例4中上山与下山的平均速度是
例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？ 解：设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为
蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行
在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系： 顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度-水流速度， 静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2， 水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。 此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。 例6 两个码头相距418千小学奥数基础教程（五年级） 米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。
解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2
=（418÷11-418÷19）÷2 =（38-22）÷2
=8（千米/时）
答：这条河的水流速度为8
千米/时。 练习24 1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。
求往返都骑车需要多少时间。 2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。问：他步行了多远？ 3.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120
秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。 4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的
速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？
5.汽车以72千米/时的速度
从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。 6.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。 7.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。 第25讲 行程问题（二） 本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为： 相遇问题：
- 34 -
追击问题：
在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。 例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
分析与解：先画示意图如下：
图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。
这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是 （40+60）×2=200（千米）。
例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
分析与解：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），
所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。
例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速
度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。 分析与解：
在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），
从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。
例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。 分析与解
与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为 速度差×追及时间
= [（56000-20000）÷3600]×37
= 370（米）。
例5如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少小学奥数基础教程（五年级） 经过多长时间甲才能看到乙？
分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需
300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需
例6 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？
分析与解：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑
12步的情形
（想想为什么这样变换）： （1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程； （2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。 由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑 也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。
- 35 -
练习25
1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？
2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
3.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？ 4.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
5.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？
6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？
7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？ 第26讲 行程问题（三）
在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往