小学奥数基础教程（五年级） - 26 -
个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有
和
两种形式，于
角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。
是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。
例3右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。
例4将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。
分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1
使宽为4），向左平移2（原来长
为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。 例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。 分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何
以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。
容易得到下图所示的分割与拼接的方法。 例6用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。 分析与解：右图所示的三角
板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。
因为要拼的图形有内外两个正
方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三
练习19
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。 2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
4.将下图分成两块，然后拼成一个正方形。
5.将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，
然后拼成一个24×25的长方形。 6.将一个正方形分成相等的
4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
第20讲 多边形的面积
我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下： 正方形面积=边长×边长=a2， 长方形面积=长×宽=ab，
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平行四边形面积=底×高=ah，
圆面积=半径×半径×π=πr2， 20×a÷2+20×b÷2=140， 10×（a+b）=140， a+b=14（厘米）。
在例2、例3中，通过添加
辅助线，使图形间的关系更清
扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°
在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。
例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。 又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出
大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米）， 小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。 102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。 例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。 两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。
例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。 分析与解：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。 因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有
晰，从而使问题得解。下面再看一例。 例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。 分析与解：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。 因为CA=AF，所以三角形
ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。 同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。 所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米2）。 例5一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2，求剩下的长方形的面积。 分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。
由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150（厘米2）。
因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于 （甲+丙）+（乙+丙） = 甲+乙+丙）+丙 = 1725+150
= 1875（厘米2）。
所以原正方形的的边长等于1875÷25=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米2）。
例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。
分析与解：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于
（14+10）÷2=12。
因为绿：红=A∶黄，所以 绿×黄=红×A，
小学奥数基础教程（五年级） A=绿×黄÷红
=12×12÷20=7.2。
正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。 练习20
1.等腰直角三角形的面积是20厘米2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。 2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？
4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？
5.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？
6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？
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7.如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？
第21讲 用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘
米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米2）。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），
EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。
例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
小学奥数基础教程（五年级）
分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×
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（4+2）÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求
三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。 练习21 1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD
小学奥数基础教程（五年级） 的面积。（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，
E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的 分析与解：（1）如左下图所边AB为4厘米，BC为6厘米，示，将左下角的阴影部分分为两三角形ABF比三角形EDF的面积部分，然后按照右下图所示，将大9厘米2，求ED的长。
这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，
三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个影部分的面积和。
圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×
5=25。
第22讲 用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形
等图形组合而成的不规则图形，例2在一个等腰三角形中，两条为了计算它们的面积，常常需要与底边平行的线段将三角形的变动图形的位置或对图形进行两条边等分成三段（见右图），分割、旋转、拼补，使它变成可求图中阴影部分的面积占整个以计算出面积的规则图形。就是图形面积的几分之几。
在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：
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分析与解：阴影部分是一个
梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。