重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
第三节 切比雪夫滤波器实现与分析
一、 切比雪夫逼近原理
切比雪夫低通滤波器幅度函数的平方为
H(j?)?2
1 221??cN(?)（2- 4）
式中CN(?)是N阶切比雪夫多项式，定义为
??cos(Narccos(?)),??1CN(?)??
??cosh(Narch(?)),??10.1Ap（2- 5）
arcch?(100.1As?1)(10??阶数N的关系为： N?arcch?s'?1)??? （2- 6）
切比雪夫系统函数的分母多项式如表2-2所示。
表2- 2切比雪夫分母多项式的系数（??1,Ap?3dB）A(s)?sN?a1sN?1???aN?1s?aNN 2 3 4 5 6 a1 0.644900 0.597240 0.581580 0.574500 0.570698 a2 0.707948 0.928348 1.169118 1.415025 1.662848 a3 0.250594 0.404768 0.548937 0.690610 a4 0.176987 0.407966 0.699098 a5 0.062649 0.163430 a6 0.044247
切比雪夫（Chebyshev）的幅频特性在在一个频带内等波纹变化，在另一个频带内单调衰减。如果在通带内等波纹，在阻带内单调，是切比雪夫I型，还有一种刚好相反，在通带内单调，在阻带内有等波纹，就是切比雪夫II型。根据应用来加以选择。但是，在阶数N相同的条件下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器具有更好的衰减特性。同样的，随着阶数增高，幅频特性趋近于矩形。但是该传递函数既有零点又有极点。
二、 切比雪夫滤波器的实现与分析
在MATLAB中提供cheb1ap和cheb2ap函数实现该类滤波器的设计，分别指I型和II型。其调用格式如下：[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)和[z,p,k]=cheb2ap(n,Rs)。其中：n,z,p,k的意义和上面巴特沃思的相同；Rs指阻带波纹系数，Rp为通带波纹系数。
- 11 -
重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
绘制切比雪夫I型和Ⅱ原型模拟滤波器的平方幅度响应曲线，阶数N分别为2,4,6,8。I型中Rs为16dB，II型中Rp为1dB其实现的MATLAB程序代码见代码2-2和2-3：运行程序效果如图2-4和图2-5所示。
图2- 4切比雪夫I型幅度图 图2- 5切比雪夫Ⅱ型幅度图
从两幅图中可以看出阶数N的增大使得截止频率更加陡峭，同时在有波纹的频带内增加了波纹数目。此外也可直观的观察出，I型的波纹只出现在通带，Ⅱ型的波纹只有阻带有。Ⅱ型相比具有更大的衰减特性。
第四节 其他滤波器的实现与分析
一、 贝塞尔滤波器
贝塞尔（Bessel）滤波器模拟低通滤波器的特点是可以获得通带内尽可能的平坦时延特性，在整个通带内的群时延几乎不变。但是衰减特性很差。可以用在对时延失真要求严格，对衰减特性要求较低的数字或图像传输系统中。
其传递函数可以归纳为：
H(s)?Z(s)k? P(s)(s?p(1))(s?p(2))?(s?p(n))（2- 7）
MATLAB信号处理工具箱中针对贝塞尔的设计函数是besselap。调用格式如下：[z,p,k]=besselap(n)其中：n为滤波器阶数，不能大于25；表示方法同上；该滤波器没有零点，返回的z为空矩阵。利用该函数，可以设计N阶贝塞尔模拟原型滤波器，
绘制幅频响应曲线，取阶数分别为5和10。为了展现平坦时延特性，同时画出其相频图像。其实现的MATLAB程序代码见附录2-4。运行程序，效果如图2-6所示。
- 12 -
重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
可以从图中看出和其他滤波器一样，它的阶数越大，滤波器过渡带越窄，但是改变不是特别明显。衰减特性确实不是很理想。
图2- 6贝塞尔低通滤波器图 图2- 7椭圆低通滤波器
二、 椭圆滤波器
椭圆逼近（又被称作考尔（Cauer）逼近或双切比雪夫逼近） 它的幅频响应在通带和阻带内都是等波纹的，相比其他滤波器，椭圆滤波器能够获得更窄的过渡带宽。椭圆滤波器的平方幅度响应为：
H(j?)?21 221?uEN(?/?c)（2- 8）
式中u是波纹滤波系数。错误！未找到引用源。为通带截止频率，EN??/?c为椭圆函数。
在MATLAB信号处理工具箱中提供了函数ellipap实现该滤波器。其调用格式如下：[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs) 。其中：z,p,k,n,Rp,Rs的含义同上。需要强调的是：当阶数n为偶数时，z和p的长度分别为N，当n为奇数时，则z向量的长度为N-1. 利用该函数，可以设计n阶椭圆滤波器，滤波器的传递系数为：
H?s??k(s?z(1))(s?z(2))?(s?z(n))
(s?p(1))(s?p(2))?(s?p(n))（2- 9）
根据基本原理设计并绘制椭圆低通模拟滤波器的幅频响应曲线，设计阶数还是分别取作2,4,6,8。其实现的MATLAB程序见附录代码2-5。运行效果如图2-7所示。
- 13 -
重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
可见，阶数为4的椭圆滤波器的过渡带已经相当的窄，不必再增加N的阶数。遗憾的是通带和阻带的并不够单调平滑，在通带和阻带内均匀等波纹。在相同的性能指标之下，椭圆滤波器确实比巴特沃思和切比雪夫滤波器的下降斜度更加陡峭，只是损失了通带和阻带内的波纹指标，它所需的阶数N也最小，但是相频特性也具有更明显的非线性。
模拟滤波器的简介中，体现了滤波器设计的基本思想，为之后研究数字滤波器的设计铺垫了一定的理论基础和研究思路。对函数，对逼近建立一定认识。
但伴随数字信号处理的不断发展，其超越模拟系统的优势逐渐显现出来。数字系统使得数字滤波器相对模拟滤波器越来越重要。对模拟滤波器的介绍可以熟悉滤波器的参数，以求对滤波过程建立基本了解。虽然本文不曾涉及IIR滤波器的介绍，但是值得一提的是，在IIR数字滤波器的设计过程中会借用模拟滤波器的设计成果，利用现成的设计数据和图标，可以减少其工作难度。这也是模拟滤波器的一个作用。
第三章 FIR滤波器主要设计方法分析
第一节 FIR滤波器的基本概念
一、 FIR滤波器特点归纳：
① FIR属于数字滤波器，所以它具有数字滤波器所具备的一切通有优点。例如精度高，灵活性可靠性强，能够达到高性能的技术指标，便于时分复用，和大规模集成生产。
②在结构上，它属于非递归结构，没有输入到输出的反馈。 ③FIR滤波器响应有限，利于编成，计算延迟相对较小。 ④可以做到任意幅度的频响特性。
⑤因为有限，所以可以采用快速傅里叶变换。大大提高运算效率。故而实践起来方便有效，成为一种非常常见的数字滤波器。
⑥FIR滤波器具有非常好的线性相位。
⑦FIR的极点只能在圆点，所以只能通过调节零点来调整滤波器性能。
- 14 -
重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
⑧因为FIR滤波器响应有限，且极点在单位圆内，所以一定稳定。在一定的时延的背景下，任意的信号都可以变成有限长序列，所以总能用因果系统进行实现。
⑨FIR的阶数要求可能是IIR滤波器的5~10倍，在这一点上增加了一定延迟。
二、 FIR的网络结构
目前，FIR滤波器的基本结构主要有三种：直联型，级联型和频率抽样型结构。
⒈直联型
直接型结构又被称做卷积型或横截性。其系统的差分表达式为：
y(n)??h(m)x(n?m)
m?0N?1（3- 1）
在结构中，输出y(n)是每个沿着这条链的抽头信号由相应的系数（脉冲响应）加权，然后将所得乘积相加得到。设计方便简单，所用的乘法器相对较少，使用最为普遍。直接型对其他参数的控制，例如，零点位置等，没有其他结构有优势。
本次设计中采用的都是直接型数字滤波器结构。 其结构如下图：
图3- 1直接型结构
x(n) h(0) z?1 z?1 zh(N-2) ?1 y(n) h(1) h(2) h(N-1) ⒉级联型
如将系统函数H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式比可以得到：
N?1n?0?N??2???k?1H(z)??h(n)z?n??(?0k??1kz?1??2kz?2)
（3- 2）
从表达式中和结构框图中可以看出，由于乘积项的存在，这种结构里每一个节点都控制着一对零点，因而可以采用它设计需要控制零点的滤波器，比直接型方便。但同时它所需的系数也相应的比直接型的多，故而它的乘法次数也相应的增加很多。当阶数N较高时，不易分解，所以目前还没有直接型使用普遍。级联结构可以表示为以下框图：
x(n) zz?1?01 ?02 zz?1?
?N?0???2?y(n)
?11 ?21 ?12 ?22 - 15 -
zz?1 ??N? 1???2??1?1?1? ?N?2???2?