重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
图3- 2 FIR滤波器的级联型结构（N为奇数）
⒊频率采样结构
已知在频率域等间隔采样，会造成时域中的信号以采样点数为周期进行周期延拓。由抽样定理，我们知道要想保证信号不失真，就必须保证在频率域内采样点数N大于等于原序列的长度M，此时原序列H(z)与频率采样值需H(k)满足下列关系式：
H(z)?(1?z?N1N?1?k?1)?H(k)/1?WNz Nk?0（3- 3）
该式又被称作是H(z)的内插公式。这个公式又为FIR滤波器提供了另外一种结构：
N?11H(z)?Hc(z)?H'k(z)
Nk?0（3- 4）
从框图中可以看到，H(z)是由N个一阶网络H'k(z)的并联结构和梳状滤波器Hc(z)进行级联所组成，理论上当极点和零点相互抵消时，能获得网络的稳定性。
H(0) x(n) y(n) ?1 z 0?z?N WN
H(N-1)
z?1 ?1 WN ?N?1z?1 WN
图3- 3 FIR滤波器频率采样结构
频率采样性结构相对于其他结构主要的优势在于，它通过直接调整乘法器的系数来有效的改变频响特性。而且等长的滤波器，其梳状结构相同，这样方便实现模块化和标准化。其缺点是，有限的字长可能不会使零极点完全对消，相应的也就面临系统不稳定的风险。同时在运算中会涉及到复数运算，不利于硬件系统的实现。
三、 FIR滤波器的线性相位
如果FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)为实数序列，并满足一定的对称性（可以是偶对称也可以是奇对称）。并且对称中心在n?(N?1)/2处，则该滤波器就能保证具有准确的线性相位。面对取值N的不同，h(n)可以被划分为四种情况，它们分别对应了四种线性相位的滤波器。详细介绍如下。
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1. 时域特点
FIR的时域特点可以归结为以下两类：
?h(n)?h(N?1?n)?N?1??第一类?h(n)关于n?偶对称 N?1?2?(?)??????2??h(n)??h(N?1?n)?N?1??第二类?奇对称 ?N?1?h(n)关于n?2?(?)???????22?d?(?)N?1???，是一个常数，所以在此将第一类和第二类线性d?2相位的特征统称为恒定群时延特性。偶对称和奇对称相比，除了具有线性相位特征之
群时延定义为
外，还有?/2的固定相移，它们共同构成了正交变换网络。
2. 频域特点
将线性相位具体分为四类，并在频域上做出分析将特点归纳如下：
??N为奇数（情况1）：Hg(?)关于?=0,?,2?三点偶对称第一类???N为偶数（情况2）：Hg(?)关于?=?奇对称（Hg(?)?0）
??N为奇数（情况3）：Hg(?)关于?=0,?,2?三点奇对称第二类???N为偶数（情况4）：Hg(?)关于?=0,2?奇对称，关于?=?偶对称综合以上特点可以将四种线性相位的FIR滤波器的特点总结如下表3- 1：
表3- 1四种线性相位FIR滤波器的特性
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3. 结论
针对以上分析的四种FIR滤波器各自的特点和滤波器实现的功能，可以把滤波器设计的结论归纳出以下几点：
①情况1：对称脉冲响应，N为奇数。可以实现所有的滤波特性（低通、高通、带通和带阻等）
②情况2：对称脉冲响应，N为偶数。满足Hg(?)?0，因此不能实现高通，带阻滤波器
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③情况3：反对称脉冲响应，N为奇数。满足Hg(0)?Hg(?)=Hg(2?)=0，不适合设计低通或高通滤波器。能够实现带通滤波器。因为exp(j?/2)?j，这种特性特别适合设计希尔伯特变换器和微分器。
④情况4：反对称脉冲响应，N为偶数。Hg(0)=0并且exp(j?/2)?j，不能实现低通、带阻和点阻滤波器，但是适用于设计希尔伯特变换器和微分器。
总之，在第3,4种情况中，都是反对成脉冲响应，对于任何频率都有固定的n/2相移，通常采用这两种情况设计微分器和90°相移器。如果只是设计一般的选频滤波器大多采用第1,2种情况。从幅度特性考虑，低通滤波器选用情况1,4的线性相位；高通滤波器选用第1,4情况；带阻滤波器只能选择第一种。而带通滤波器可以任选。通过以上分析将线性相位的基本特点归纳于表3-2，它可以直观充分的总结线性相位特征和设计的具体关联。
表3- 2四种线性相位与四种选频滤波器设计对应关系
选频类型 线性相位 情况1 情况2 情况3 情况4 低通 √ √ √ 高通 √ 带通 √ √ √ √ 带阻 √
为了方便设计的使用，MATLAB就以上讨论的四种线性相位单独定义了4种辅助函数。hr_type1(h)，hr_type2(h)， hr_type3(h)， hr_type4(h)。从数字上可以明显的看出对应关系。具体函数见附录，在后面的设计中会广泛运用到。
第二节 窗函数设计FIR滤波器分析
一、 窗函数设计思想
FIR滤波器在设计中，其主要任务就是根据给定的性能指标确定滤波器的系数，以及系统单位脉冲序列h(n)，特别的，它是一个有限长的序列。FIR滤波器的理想频率响应的傅里叶级数形式表示为：
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Hd?ej????h?n?edn??????j?n （3- 5）
式中：错误！未找到引用源。对应单位脉冲响应序列。由于滤波器的频率响应和单位脉冲响应互为傅里叶变换对。因此还可以得到：
?j?H(e?d)d?
1hd(n)?2?（3- 6）
?π
但是错误！未找到引用源。故只能截取其中的某些项，这种处理相当于hd(n)将与函数w(n)相乘，w(n)可以表示为具有以下形式的函数：
?0，n?0,n?N w?n???0?n?N?1,（3- 7）
明显看出w(n)相当于一个矩形窗。所以可采取函数w(n)将无线脉冲响应hd(n)截取一段h(n)来近似表示为hd(n)，这种截取在数学上的表示是：h?n??hd(n)w(n)。截取之后的滤波器传递函数变为：
Hd(n)??h(n)z?n
n?0N?1（3- 8）
式中：N为窗口的宽带，H(z)是物理可实现系统。因为这种方法的基本原理是利用一定宽度的窗函数来截取无线长单位响应序列，获得有限长脉冲响应序列，从而得到FIR滤波器的脉冲响应，故而称之为FIR滤波器的窗函数设计法。理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的形式：
其中幅度函数为：
Hd(ej?)?Hd(?)ej??
（3- 9）
|?|??c?1, Hd??????0,?c?|?|??d（3- 10）
事实上FIR的幅度响应函数H(?)正好是理想幅度函数与窗函数的幅度卷积
1H(e)?2?j???d???H???W????? dR（3- 11）
卷积的具体过程可以用图3-5来说明。
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