重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
图3- 4窗函数的卷积过程
从上图可以归纳出加窗对理想频率响应的影响为：
①H???的最大肩峰值出现在通带截止频率?c的两旁，也就是???c?2?/N的地方。过渡带形成于两个肩峰之间，其宽度为△ω=4π/N。肩峰和余振大小取决于
WR???函数的副瓣。规律表明，副瓣多少和余振成正比；而副瓣的相对值大，余振就强，与N值大小无关。具体关系可以通过以下表达式来说明。
WR????sin?(N/2)?Nsin?(/2)
?siNn(/2)xsin()?N（3- 12） ?sin(/2)x
式中：x??N/2。所以N 的改变不会改变主瓣与旁瓣的比例，最多只能改变WR???的绝对值大小和起伏的密度。
②旁瓣使滤波器在通带和阻带内产生余振。分析表明：阻带内最小衰减是由窗函数形状来决定，而过渡带宽度则是由窗函数的长度N确定。当N增大时，WR???的幅值变大，频率轴变密，这种现象称之为吉布斯（Gibbs）效应。这种效应是因为将hd(n)直接截断而引起的，所以又被称之为截断效应。
③为了改善滤波器特性，必须改变窗函数的形状，窗函数要满足以下两点要求： a.窗瓣主瓣宽度要尽量窄，以求获得较陡的过渡带。
b.相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能的小，使能量能够尽量集中在旁瓣中，这样就可以通过减少肩峰和余振，来提高阻带衰减和通带的平稳性。
但实际设计中会发现，以上这两点不可以兼得。窗谱肩峰的大小影响到通带的平稳的阻带的衰减。虽然一直在尽力改善窗函数的形状，但只有当窗谱逼近冲击函数时
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H(?)才会逼近Hd(?)。这相当于将窗的长度变为无限长，没有实际意义。一般总是
通过增加主瓣宽度来换取旁瓣的抑制。
二、 窗函数简介
常见的窗函数主要有6种，它们分别是矩形窗，三角窗，汉宁窗，海明窗，布莱克曼窗和凯塞窗。下面就它们各自的窗体表达式和频率响应进行介绍。
1. 矩形窗
?0，n?0,n?N矩形窗的窗体表达式为： wR?n???0?n?N ?1,其频率响应为： WR?ej?（3- 13）
??R?n??W???eNR?jN?1?2sin(?N/2)?jN2?1? （3- 14） ?esin(?/2)2. 三角窗
三角窗又叫做巴特列特窗（Bartlett）。三角窗的设计原理与矩形窗基本相同，只不过生成窗函数时采用函数生成三角窗。其分析如下：
N?1?2n,0?n???N?12wBr(n)??
2nN?1?2?,?n?N?1?N?12?2 （3- 15）
窗谱为：
2???N?1???N????sin???????j(N?1)?sin()??j(N?1)??422????j?4??e2??WBr(e)?e2? （3- 16） ???N?1?N?sin(?)?sin()??2?2???
“?”当且仅当N?1成立。主瓣宽度8错误！未找到引用源。/N。且三角形窗频谱密度函数永远是正数。
3. 汉宁（Hanning）窗（又称升余弦窗）
1??2?n??wHn(n)??1?cos???RN(n)2?N?1???
（3- 17）
利用傅里叶变换的调制性质，即利用ej?0nx?n? ? (Xej(???0))
ej?0n?e?j?0n“?”表示傅里叶变换对。再利用，cosn?0?
2- 22 -
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N?1?2考虑到错误！未找到引用源。的傅里叶变换为WRe???W???ej?R?j得：
WHn?ej???DTFT??w?n????2?2??????0.5WR(?)?0.25?WR(??)?WR(??)??N?1N?1????
（3- 18）
?WHn???e?jN?1?2
当N?1时，N-1≈N。所以窗谱的幅度函数为
2??WHn(ω)?0.5WR????0.25[WR???N?2????W??R??N????]?
（3- 19）
汉宁窗是下面一类窗的特例：当a=2时就是汉宁窗。
n???w(n)??sina()?RN(n)N?1??
（3- 20）
4. 海明（Hamming）窗（又称改进之后的升余弦窗）
对于升余弦加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为：
??2πn??wHm(n)??0.54?0.46cos???RN(n)?N?1???
（3- 21）
其频率响应的幅度函数为：
2π?2π???WHm(?)?0.54WR????0.23[WR????W??R???]
N?1?N?1???（3- 22）
结果是可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，但是旁瓣可能更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。同样，海明窗是下面一类窗的特例（??0.54时）
??2πn??w(n)????(1??)cos???RN(n)?N?1???
（3- 23）
5. 布莱克曼（Blackman）窗（又称二阶升余弦窗）
为了更进一步的抑制旁瓣，可再加上余弦的二阶谐波分量，得到布拉克曼窗：
??2πn??4πn??wBl?n???0.42?0.5cos??0.08cos????RN(n)?N?1??N?1???
（3- 24）
其频率响应的幅度函数为：
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?2π?2π????WBl????0.42WR????0.25?WR????W??R???N?1N?1???????
4π?4π??? ?0.04[WR????W??R???]N?1?N?1???（3- 25）
此时主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即为12错误！未找到引用源。/N。布拉克曼窗是下面一类窗的特例：选M=2，错误！未找到引用源。=0.42，错误！未找到引用源。=0.50，错误！未找到引用源。=0.08时，即为布拉克曼窗。
?Mmw(n)????(1a)m?m?0
2?n0.5cosm(N?1?(3- 26) ()?RNn)?
6. 凯赛（Kaiser）窗
这是一种自适应型较强的窗。其他几个窗的窗体一旦确定，衰减程度也就被确定在一个较小的范围内。但凯泽窗通过引入参变量错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。来提高它窗体可供不同衰减的选择性。其窗函数的表达式为：
wk(n)?
I0(?1?(1?2n2))N?1I0(?),0?n?N?1
（3- 27）
其中错误！未找到引用源。是贝塞尔函数，错误！未找到引用源。是一个可以自由选择的参数，它的直接作用就是调整主瓣与旁瓣电平关系，错误！未找到引用源。越大，则错误！未找到引用源。窗越窄，而频谱的旁瓣越小，但是主瓣宽度也相应的增加。因而改变错误！未找到引用源。值就可以对主瓣宽度和旁瓣宽度进行选择。一般情况下选择4<错误！未找到引用源。<9，这相当于旁瓣幅度与主瓣幅度的比值由3.1%变到了0.047%（-30dB到-76dB）。凯塞窗在不同的错误！未找到引用源。下的性能归纳在表3- 3中
表3- 3凯塞窗的性能
2.120 3.384 4.538 5.658 6.764 7.865 8.960 过渡带宽/（?/N） 3.00 4.46 5.86 7.24 8.64 10.0 11.4 通带波纹/dB ±0.27 ±0.0864 ±0.0274 ±0.00868 ±0.00275 ±0.000868 ±0.000275 阻带最小衰减/dB -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 - 24 -
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三、 窗函数不同窗体之间的设计分析比较
1. 窗体直观的比较
在MATLAB中信号工具处理箱中对应每一种窗函数都提供了相应的设计函数，方便直接调用：
在函数表达式中，n均为窗函数的长度，而返回值w为一个n阶的向量，它的元素组成了窗函数。具体的函数形式如下：
①矩形窗： w=boxcar(n)或rectwin(n)。?w=boxcar(n)?等价于?w=ones(1,n)?. ②三角窗： w=triang(n)，特别的w=triang(N-2)等价于bartlett(N)。 ③汉宁窗： w=hanning(n)。 ④海明窗： w=hamming(n)。 ⑤布拉克曼窗： w=blackman(n)。
⑥凯塞窗：w=kaiser(n,beta)。
通过MATLAB中提供的wvtool工具，分别得到6类窗函数的窗体和幅频曲线如下图：
图3- 5 6种窗函数性窗体及幅频特性
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