重庆邮电大学本科毕业设计（论文）
从图3-5中可以大致的看出每一种窗函数窗体的特点。矩形窗在通带内是水平的，三角窗就是明显的三角形幅度响应。从幅频波纹来看矩形窗和beta值较小的凯塞窗吉布斯效应相对严重。根据横纵坐标的值大小可以直观的感受6种窗函数具体的性能。6种窗函数具体指标如下表3-4。接下来具体分析表中参数和窗函数区别的意义。
表3- 4 6种窗函数性能比
窗谱性能指标 窗函数 矩形窗 三角窗 汉宁窗 海明窗 布莱克曼窗 凯塞窗（??7.865） 加窗后滤波器性能指标 过渡带宽?? /（2?/N） 0.9 2.1 3.1 3 5.5 5 阻带最小衰减 /dB -21 -25 -44 -53 -74 -80 旁瓣峰值 /dB -13 -25 -31 -41 -57 -57 主瓣宽度 /（2?/N） 2 ?? 4 4 6 5
2. N值对窗函数的影响
在MATLAB中绘制N值不同的海明窗频率响应如图。代码见附录3-1：
图3- 6不同N值下的海明窗频谱响应
从图3-6中观察可以得知，在海明窗的设计中，N值越大，滤波器的过渡带越小，起伏振荡越密。
理论上分析得知，过渡带??近似与窗口的长度N成反比，即N?A/??，其中，A是取决于窗函数的常数。通过表3-4得知，海明窗的A为6.6?。利用公式可以计算
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出不同N值下的??大小，理论值分别为：0.5?,0.2?,0.12?,0.09?。所以N无法改变主瓣和旁瓣的比例，但是增大可以使过渡带变窄。
旁瓣的多少即振荡密度，和N值也是有着密切的联系。式3-22中，海明窗的W(n)中2?/(N?1)越大，函数的变化率越大。而N越小，2?/(N?1)越大。所以从理论上也可证明，N和和振荡的密集程度成相反的关系。这也就是我们通常所谓的吉布斯（Gibbs）效应。
3. 几种窗函数滤波器比较
为了展示窗函数设计多种选频滤波器的设计结果，以及进行一定的设计比较。现利用fir1函数设计线性相位滤波器比如设计逼近理想低通滤波器通带截止频率
?c??/4rad/s，滤波器长度为N=21。分别选用矩形窗，汉宁窗，海明窗，布莱克曼
窗和凯塞窗（??2.120）进行设计。绘制出每种窗函数设计的单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线。代码见附录3-2：图如图3-7。其他几种类型的滤波器类似代码省略。设计理想高通滤波器见图3-8示。设计理想带阻滤波器见图3-9示。设计逼近理想高通滤波器见图3-10示。
图3- 7 5种窗函数设计低通滤波器 图3- 8 5种窗函数设计高通滤波器
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图3- 9 5种窗函数设计带阻滤波器 图3- 10 5种窗函数设计带通滤波器
从各类滤波器设计的比较图形中可以观察得出以下结论：
①阻带衰减由小至大依次是：矩形窗，凯塞窗，汉宁窗，海明窗，布莱克曼窗 ②主瓣宽度方面比较由小至大分别是：矩形窗和凯赛窗一样其次是汉宁窗和海明窗一样。布莱克曼窗的过渡带要比其他窗宽。
③从主瓣与第一旁瓣差值方面来看，矩形窗和凯塞窗高度差最小，其次是汉宁窗，海明窗略大，布莱克曼窗高度差最大。
④旁瓣速率来看，矩形窗和凯塞窗最慢。汉宁窗相对要快，海明窗相对缓慢，而布莱克曼窗很快。
⑤旁瓣幅度凯塞窗最大，其次是矩形窗，汉宁窗和海明窗较大，布莱克曼窗较小。
理想的滤波器设计，期望阻塞衰减大，主瓣宽度小，主瓣和第一旁瓣的差值也大。而旁瓣和幅度速率小，尽量避免吉布斯效应。当然，主瓣宽度和衰减等是不能同时满足的。在实际的设计中优化选择，同时根据设计结果作不断的调整，以求达到实际滤波器要求。
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四、 基于窗函数的FIR滤波器线性相位分析
1. 低通滤波器
在低通滤波器的环境下分析可知：
1hd(n)?2?2??0Hd(ej?)ej?nd??sin?c(n??),?(n??)???n??? (3- 28)
N?1??sin??c(n?)?2???h(N?1?n),n?0,1,2?N?1 (3- 29) h(n)?hdW(n)?W(n)N?1?(n?)2所以低通滤波器只能选择对称脉冲响应。当N为奇数时，设计第1种情况的线
性低通滤波器。当N为偶数时则设计第2种线性低通滤波器。
2. 高通的频率特性
冲击响应：
1hd(n)?2??e?j(???)????c?w????c Hd(e)??00??????c?j?2?(3- 30 )
?0Hd(ej?)ej?nd??(?1)nsin?c(n??),?(n??)???n??? (3- 31)
加窗后的频率响应：
N?1??sin??c(n?)?2???(?1)nh(N?1?n),n?0,1,2?N?1 (3- 32)
h(n)?hdW(n)?W(n)(?1)nN?1?(n?)2所以当N为奇数时，满足h(n)?h(N?1?n)，对应第1种线性相位。当N为偶数时对应第4中线性相位。为反对称脉冲响应。
3. 带通滤波器
理想的带通DF特性为：
Hd(ej?)?Hd(?)e?j??
其冲击响应：
?e?j??????0??0??c????0??c 0????0??c?0??c????sin??c(n??)? （3- 33）
hd(n)?12??2?0Hd(ej?)ej?nd??2cos??0(n??)?- 29 -
?(n??)???n???（3- 34）
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加矩形窗处理后得到：
h(n)?hd(n)W(n)?2cos(?0(n??))sin??c(n??)??(n??) n?0,1,2,?N?1（3- 35）
所以h(n)一定偶对称，满足h(n)?h(N?1?n)。当N奇数时对应第1种线性带通滤波器，当N为偶数时，对应第2种线性相位带通滤波器。若选取有相位相移的理想滤波器其频率特性为：
?j???)??（2?0??c????0??c?e???（j????)j??（j????）?（3- 36） Hd(e)?Hd(?)e??e22???0??c???2???0??c???止带?0
此时的脉冲响应：
加矩形窗处理后：
hd(n)?12??2?0Hd(ej?)ej?nd??2sin(?0(n??))sin??c(n??)??(n??),???n???（3- 37）
N?1??sin??c(n?)?N?1?2???,n?0,1,2?N?1（3- 38） h(n)?hd(n)W(n)?2sin??0(n?)?2??(n?N?1)?2此时h(n)??h(N?1?n)为反对称序列。当N为奇数时对应第3种线性相位。当
N为偶数时对应第4种线性相位。
4. 带阻滤波器
由于带阻滤波器设计本身只能选择第1种情况故不作过多分析。
五、 窗函数实例设计步骤分析
在窗函数的设计中，应当遵循以下步骤： ①给定希望逼近的滤波器频率响应函数Hd(ej?) ②根据给定的Hd(ej?)确定其相应的单位冲激响应hd(n)
③根据过渡带即阻带衰减要求利用表选择窗函数，并估计窗口的长度。 ④计算所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)，即：
h(n)?hd(n)w(n),n?0,1,2,?,N?1，式中w(n)是选择好的窗函数。已知的几种窗函数均满足偶对称。
⑤检验指标是否满足要求，并做一定的改进
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