刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。P的正负取决于cosθ的正负，即功的正负
【例3】 质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g取
10m/s2）
121gt??10?22?20m，WG?mgh?0.5?10?20?100J， 22W?50W， 2s末速度vt?gt?10?2m/s?20m/s， 平均功率P?t解析：前2s，h?2s末即时功率P?mgvt?100W。
⑶重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。
⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma
v
①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随a 着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加
f F PPmm速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值vm?。可见恒定?Ff功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因
为F为变力）。
②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速
PP运动结束，其最大速度为vm此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速??m?m?vm，Ff运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F?s计算，
不能用W=P?t计算（因为P为变功率）。
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
【例4】质量为m、额定功率为P的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2 解析：①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。以最大速度行驶时，根据P =Fv，可求得F =4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。 ②设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v =a t =2t，这时汽车的功率为额定功率。由P =Fv，将F =8000N和v =2 t代入得t =5s。 ③由于3s时的速度v =at =6m/s，而牵引力由F—Ff =m a得F = 8000N，故此时的功率为P = Fv = 4.8×104W。 ④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引 5 力的功为W = Pt = 40000×5J=2×10J. 三、针对训练 1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=T时刻F的功率是（ ） F2T2F2TA． B． mmF2T C． 2mF2T2 D． 2m2．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ ） A．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大 B．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小 C．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，发动机的功率这时应减小 D．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比 3．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系（ ） A．W1?W2、P1?P2 B．W1?W2、P1?P2 C．W1?W2、P1?P2 D．W1?W2、P1?P2 4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（ ） 2 A．物体加速度大小为2 m/sB．F的大小为21N C．4s末F的功率大小为42W D．4s内F做功的平均功率为42W 5．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少? P(v1?v2)P11PP， F? 得 a?(?)? v1v2mv1v2mv1v2【例5】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若 2 汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s，运动中的阻力不变。求：①汽车所受阻力的大小。②汽车做匀加速运动的时间。③3s末汽车的瞬时功率。④汽车在匀加速运动中牵引力 - 21 - 6．如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功 1、重力势能（Ep）?举高。物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。 Ep＝m g h （h是重心相对于零势能面的高度） （1）、相对性 ①“零高度”或“零势能面”，（大地或最低点） ②势能的正负和大小是相对于零势能面的 ③势能的正负和大小于零势能面的选取有关 （2）重力势能变化量的绝对性—— ①跟物体的初位置的高度和末位置的高度有 关，跟物体运动的路径无关。 ②重力势能改变量与零势能面的选取无关 ③重力势能的改变量与路径无关 （3）重力势能的改变——重力做正功，重力势能减 小，重力做负功，重力势能增大（等值变化） 2、弹性势能（Ep）?弹性形变 发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。 三、动能定理 1． 动能定理的推导 物体只在一个恒力作用下，做直线运动 第2单元 动能 势能 动能定理 一、动能 1．动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。其表达式为：Ek?V22?V121212 w＝FS＝m a × 即 w＝mv2?mv1 222a推广： 物体在多个力的作用下、物体在做曲线运动、物体在变力的作用下 结论： 合力所做的功等于动能的增量 w?112mv2?mv12 合力做正功动能增加，合力2212mv。 2做负功动能减小 注：动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。 【例1】 一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在力的方向上获得的速度分别为v1、v2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为 A． 2．对动能的理解 （1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应．动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值． （2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关．如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。 3．动能与动量的比较 （1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量， 12111mv B．mv2 C．mv2 D．mv2 3642错解：在分力F1的方向上，由动动能定理得 W1?11v12mv1?m()2?mv2，故A正确。 222cos30?612mv，某个分力的功为2正解：在合力F的方向上，由动动能定理得，W?Fs?12p2Ek?mv＝ 或 p?2mEk 22m（2）动能是标量，动量是矢量。物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则 其动量不一定变化。 （4）动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。 二、势能（位能） W1?F1scos30??F11scos30??Fs?mv2，故B正确。 2cos30?24 2．对外力做功与动能变化关系的理解： 外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功． 功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化．所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量．即 ． 3．应用动能定理解题的步骤 - 22 - （1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。 （2）对研究对象受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 （3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负） （4）写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。 【例2】 将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。 解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理： 11122?2f?mg mv0，可得H=v0/2g，mgH?mv0和0.8?mg?f?H422再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：f?2?0.8H?112mv0?mv2，解得v?223v0 5四、动能定理的综合应用 1．应用动能定理巧求变力的功 如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。 【例5】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功． 解析：设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则据动能定理可得： W?mgh?【例3】如图所示，质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10停止，则 （1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？ （2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。 解析：（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0。取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考 111平面，则重力的功WG=mgh，阻力的功WF=? Ff h， 代入得 1Hmv2 因绳总长不变，所以： h??H 2sin?根据绳联物体的速度关系得：v=vBcosθ 由几何关系得：??由以上四式求得： W??4 12mvB?mg(2?1)H 41010111mgh?Ff h=0，故有Ff /mg=11。即所求倍数为11。 1010 （2）设钢珠在h处的动能为EK，则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0，进一步展开为9mgh/8—Ff h/8= —EK，得EK=mgh/4。 【例4】 质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以 v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出， 木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求 木块与台面间的动摩擦因数为μ。 解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有 机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程： 子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2， 有：?MgL?2．应用动能定理简解多过程问题。 物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。 【例7】 如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？ 解析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。 在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得： 2mgS0sin??11202mv mgS0sin???mgLcos??0?mv0得L? 2?mgcos?112Mv12?Mv2……② 22木块离开台面后平抛阶段，s?v2 2hg…③ ， 由①、②、③可得μ=0.50 3．利用动能定理巧求动摩擦因数 【例8】 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。 解析：滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功， - 23 - 设滑块质量为m，动摩擦因数为?，斜面倾角为?，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得： mgh??mgcos??s1h??mgs2?0s1?s2?s 由以上两式得?? scos?从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。 4．利用动能定理巧求机车脱钩问题 【例9】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？ 解：对车头，脱钩后的全过程用动能定理得： 12FL?k(M?m)gs1??(M?m)v0对 2车尾，脱钩后用动能定理得： ?kmgs2??12mv0 2ML。 M?m而?s?s1?s2，由于原来列车匀速，所以F=kMg，以上方程解得?s? 五、针对训练 1．质量为m的物体，在距地面h高处以g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中正确的是 5．如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出……，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁相碰时不损失能量） （1）小球第一次离槽上升的高度h； （2）小球最多能飞出槽外的次数（取g=10m/s2）。 11A.物体的重力势能减少mgh B.物体的动能增加mgh 3311C.物体的机械能减少mgh D.重力做功mgh 332．质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空 气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为 A.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL 3．如图所示，木板长为l，板的A端放一质量为m的小物块，物 块与板间的动摩擦因数为μ。开始时板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物块始终保持与板相对静止。对于这个过程中 各力做功的情况，下列说法正确的是 ( ) A、摩擦力对物块所做的功为mglsinθ(1-cosθ) B、弹力对物块所做的功为mglsinθcosθ C、木板对物块所做的功为mglsinθ D、合力对物块所做的功为mgl cosθ 4．质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，求：(1)飞机受到的升力大小;(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能. - 24 - 第3单元 机械能守恒定律 一、机械能守恒定律 1、 条件 ⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。（和只受到重力不同） ⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。 (3) 其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧） 2、对机械能守恒定律的理解： ①“守恒”是时时刻刻都相等。 ② “守恒”是“进出相等” ③要分清“谁”、“什么时候”守恒 ④、是否守恒与系统的选择有关 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。 3、机械能守恒定律的各种表达形式 ⑴初状态 = 末状态 ⑵ 增加量 = 减少量 用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。 4、解题步骤 ⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。 5、动能定理与机械能守恒的联系 1、 动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统 2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制 3、 动能定理有时可改写成守恒定律 二、机械能守恒定律的综合应用 例1、如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的 AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，O 求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。 B 解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦 和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。 A A O O v1/2 ⑴过A α O θ θ 程中A的 重力势能 α B 减少， A、B B B的动能 v1 和B的重力势能增⑴ ⑵ ⑶ 加，A的即 左偏了α角。2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，解得sin（53°-α）=sin37°，α=16° ⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大， 112?2m??2v???3m?v2=2mg?2Lsinθ-3mg?L（1-cosθ） 224gL=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mg?L，解得vm? 11 例2、如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？ 解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，A、B两球通过的路程相等， A上升的高度为h?R；B球下降的高度为H?由机械能守恒定律得：??EP??EK ； 2?R?R?；对于系统，42??EP??Mg?R2?RMg?2mgR ?vc?M?m?mgR?1(M?m)v2 2 例3、如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的 1悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链541LL11mg2L?mg(2L?)?mg?mv2 得：v?74gL 5510225下端刚要着地时的速度？ 解：选取地面为零势能面： 11v?8gL时速度总是B的2倍。2mg?2L?3mg?L??2m?v2??3m? ??，解得v?1122?2?⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向 2 例4、如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？ K （管的内部横截面很小，摩擦忽略不计） 解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则 L1mg???8m?v2，得v?gL。 228点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。 - 25 -