例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为
112?mvC?mg2R?mv?22取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律2②
由①、②两式消去v′，可得vC?5gR
同理可得小球滑过D点时的速度vD?5gr，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用
12m1mv0?2?RgR?mv2 2L2?g要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有v0?2R
Lm，则据机械能守恒定律得：
例6、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？
解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线
运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。
1212mvD?mvC22动能定理，
5(R?r)l?v2? 将C、vD代入，可得
??mgl?
三、针对训练
1．将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（ ）
A．t上>t下，?E上>?E下 B．t上 C．t上 tt?E上=?E下 v2mg?mR① 根据题意，在C点时，满足 112mv2?mvB22从B到C过程，由机械能守恒定律得② 12R?gt2v?5gR 从C回到A过程，满足2由①、②式得B③ ?mg2R?水平位移s=vt， 2．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜和上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则（ ） A．hA?hB?hC B．hA?hB?hC C．hA?hB?hC D．hA?hB,hA?hC 3．质量相同的两个小球，分别用长为l和2 l的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（ ） A．两球运动的线速度相等 B．两球运动的角速度相等 C．两球运动的加速度相等 D．细绳对两球的拉力相等 4．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（ ） A．上抛球最大 B．下抛球最大 C．平抛球最大 D．三球一样大 5．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为vm，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点处的速度为________，在远地点处的速度为______。 v?gR④ 由③、④式可得s=2R 2从A到B过程，满足2as?vB⑤ ∴ a?5g4 例7、如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。 解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为 ，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运 v?2mg?mR① 动公式有 - 26 - 第4单元 功能关系 动量能量综合 一、功能关系 功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。 ⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其它=ΔE机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能守恒定律。 ⑷物体电势能的改变由重力做的功来量度。 （5）弹性势能的改变由弹力做功来完成 F （6）一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于v 摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f ?d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。 a 【例1】 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个G 过程中，下列说法中正确的有A、C A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH C.物体的机械能增加了FH D.物体重力势能的增加小于动能的减少 A 【例2】 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置 B 有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受 C 弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的 是（B、C、D） A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大 C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 二、动量能量综合问题 我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机a b c 械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。 【例3】 如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有 A．它们同时到达同一水平面 B．重力对它们的冲量相同 C．它们的末动能相同 D．它们动量变化的大小相同 变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。 【例4】 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？ 解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水 p2平动量守恒，由动能和动量的关系式EK?知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量 2m2成反比，炮弹的动能E1?1mv12?E,E2?1mv2?2等于抛出时初速度之比?s2?v2?sv1ME，由于平抛射高相等，两次射程的比 2M?mMM ?s2?sM?mM?m【例5】 质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑v m 水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦 因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？ 解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对 2Mmv2静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是Q?；当M=m时，显 M?m然最终共同速度为零，当M 墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能Q?1?M?m?v2 2【例6】 用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v＝ 6 m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中： （1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大? （2）弹性势能的最大值是多大? （3）A的速度有可能向左吗?为什么? 解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v＝（mA+mB+mC）vA′ 解得 vA′= (2?2)?6 m/s=3 m/s 2?2?42?6=2 m/s 2?4 （2）B、C碰撞时B、C系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则 mBv=（mB+mC）v′ v′= 2h解析：b、c飞行时间相同（都是；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）； g） 但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量 - 27 - 设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep， 211?221根据能量守恒Ep=（mB+mC）v? +mAv-（mA+mB+mC）vA 222= 111×（2+4）×22+×2×62-×（2+2+4）×32=12 J 222（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移Δs＝L-d 由功能关系可得：FΔs= （3）A不可能向左运动 系统动量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB 设 A向左，vA＜0，vB＞4 m/s 则作用后A、B、C动能之和 111mAvA2+（mB+mC）vB2＞（mB+mC）vB2=48 J 2221?2实际上系统的机械能 E=Ep+（mA+mB+mC）·vA=12+36=48 J 2根据能量守恒定律，E?＞E是不可能的 E′= 【例7】 如图所示，滑块A的质量m＝0.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01 kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2 m，线长分别为L1、L2、L3…（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开始时，滑块以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰 （1）滑块能与几个小球碰撞? （2）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式. 解析：（1）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s0，有 111mBvB02-（mAvA2+mBvB2）② 代人数据解得F=2.25 N 222mv（3）根据动量定理，对A球有：Ft=mAvA-0 t=AA F32代入数值解得t= s=3.56 s 9 三、针对训练 1．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间Δt1内动能由0增大到E1，在时间Δt2内动能由E1增大到E2.设合力在Δt1内做的功是W1、冲量是I1；在Δt2内做的功是W2、冲量是I2.那么 A.I1＞I2，W1＝W2 B.I1＜I2，W1＝W2 C.I1＜I2，W1＜W2 D.I1＝I2，W1＜W2 2．如图所示，分别用两个恒力F1和F2先后两次将质量为m的物体从静止开始，沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力F1的方向沿斜面向上，第二次力F2的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这两个过程中 ??mgs0?0?s12mv0（个） 得s0＝25 m n?0?12 2s（2）滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为vn′ ?2vn1122??2mgLn ① mg?m对小球,有: mvn?mvn ② 22Ln1122对滑块，有：??mgns?mvn?mv0 ③ 222v0?2?gsn50?4n解 ①②③三式: Ln? ?5g25 【例8】 如图所示，两个小球A和B质量分别是mA=2.0 kg，mB=1.6 kg.球A静止在光滑水平面上的M点，球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动.假设两球相距L≤18 m时存在着恒定的斥力F，L＞18 m时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距 离为d＝2 m，此时球B的速度是4 m／s.求： （1）球B的初速度；（2）两球之间的斥力大小； （3）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间. 解析：（1）设两球之间的斥力大小是F，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是t0当两球相距最近时球B的速度是vB=4 m/s，此时球A的速度与球B的速度大小相等，vA＝vB＝4 m/s. 由动量守恒定律可得：mBvB0＝mAvA+mBvB ① 代人数据解得vB0＝9 m/s（1分） A.F1和F2所做功相同 B.物体的机械能变化相同 C.F1和F2对物体的冲量大小相同 D.物体的加速度相同 3．一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长 A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关 D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功 4．如图所示，质量均为M的木块A、B并排放在光滑水平面上，A上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小钉（质量不计）O上系一长度为L的细线，细线的另一端系一质量为m的小球C，现将C球的细线拉至水平，由静止释放，求： （1）两木块刚分离时，A、B、C速度各为多大？ （2）两木块分离后，悬挂小球的细线与竖直方向的最大夹角多少？ - 28 - 第五章 曲线运动 第1单元 运动的合成与分解 平抛物体的运动 一、曲线运动 1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。物体能否做曲线运动要看力的方向，不是看力的大小。 2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。 二、运动的合成与分解(猴爬杆) 1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循四边形定则。 2．求已知运动的分运动，叫运动的分解，解题按实际“效果”分解，或正交分解。 3．合运动与分运动的特征： ①运动的合成与分解符合平行四边形法则。分运动共线时 变成了代数相加减。——矢量性 v1 v ②合运动与分运动具有“同时性”——同时性 a1 ③每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响——独立性 a ④合运动的性质是由分运动决定的——相关性 o v2 ⑤实际表现出来的运动是合运动 a ⑥速度、时间、位移、加速度要一 一对应 ⑦运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解) 4．两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？ 三、应用举例： 1． 过河问题 例1、一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么： （1）怎样渡河时间最短？ （2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？ （3）若Vc （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为：xmin?(Vs?Vccos?)v1 甲 v2 v1 α 乙 L. Vcsin?α va α vb 此时渡河的最短位移为：s?LV?sL. cos?VcL. Vcsin?Vc θV2 图2甲 可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时， V1 Vs Vc θ V Vs 图2乙 2．连带运动问题 【例2】如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2 解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1 【例3】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb 解析：a、b沿杆分速度分别为vacosα和vbsinα ∴va∶vb= tanα∶1 3、会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的V1 方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。 B E VR θ P 例4、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运 动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7V O Vc 所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，图7 α θ Vs 求竖直杆运动的速度。 A 解：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上由于弹力方向沿OP 图2丙 - 29 - 方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有 V0sin??V1cos?，解得V1=V0.tgθ. 四、平抛运动 当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。 1、 （合成与分解的角度）平抛运动基本规律 ① 速度：vx?v0，vy?gt 合速度 v?22vx?vy 方向 ：tanθ= vmin?s/2(h?H)g ?sg2(h?H)vyvx?gt vo实际扣球速度应在这两个值之间。 例6、如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ 分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从 V0 A运动到B处所需的时间为t,则： V0 A 水平位移为x=V0t Vy1 12B 竖直位移为y=gt θ 2②位移x=vot y= 12yggt 合位移大小：s=x2?y2 方向：tanα=??t 2x2vo2V0tan?12数学关系得到: gt?(V0t)tan?,t? 2g图8 122y③时间由y=gt得t=（由下落的高度y决定） 2x竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。 ④一个有用的推论 A O v 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速0 B 度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h， 则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan??vyvx?2h，所以有s??h?s tan?2s（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以t1? V0tan?。 g 第2单元 圆周运动 一、描述述圆周运动物理量： v0 θ D C vt vy v 1、线速度＝ s弧长 v＝ 矢量方向――切向 t时间2、平抛运动是匀变速曲线运动 3、平抛中能量守恒 注意：两个分解（位移和速度）和两个物理量（角度和时间） h 4．应用举例 【例5】 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。 解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度 O vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得： 理解：单位时间内通过的弧长 匀速圆周运动不匀速,是角速度不变的运动 可理解为前面学过的即时速度 2、角速度＝ ?角度 ?? 矢量方向――不要求 单位：rad / s 弧度/ 秒 t时间s H L vmax??L?s?/ 2hg； ?(L?s)g2h 理解：单位时间内转过的角度 3 线速度和角速度是从两个不同的角度去描速同一个运动的快慢 3、周期和频率 周期（T）――物体运动一周所用的时间 A - 30 - 1频率（f）――单位时间内完成多少个圆周， 周期倒数(Hz S) T? f－1 v2 提供的向心力 需要的向心力m r ＝ 圆周运动 ＞ 近心运动 ＜ 离心运动 ＝0 切线运动 1、火车转弯 如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供 转速（n）――单位时间内转过的圈数 （r/s r/min） 【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。 解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4 二、向心力和加速度 c b d a v21、大小F＝m ωr F?m r2 v2mgtan??m?v?grtan?,v增加，外轨挤压，如果v减小， r内轨挤压 问题：飞机转弯的向心力的来源 2、汽车过拱桥 N 2、方向： 把力分工—切线方向， 改变速度大小 半径方向， 改变速度方向，充当向心力 注意：区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同 3、来源：一个力、某个力的分力、一些力的合力 mg v2 mgcos??N?m r mg sinθ = f 如果在最高点，那么 v2 mg?N?m 此时汽车不平衡，mg≠N r 说明：F＝mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。 v2 补充 ：N?mg?m (抛体运动) r3、圆锥问题 N v24?22??r?2r?4?2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻向心加速度a：（1）大小：a =rT变化 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 三、应用举例 （临界或动态分析问题） Nsin??mg Nco?s?m?r?tan??2g?2r??? g mg rtan?例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。 - 31 -