第四章 三角函数
§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础自测
1.A={小于90°（ ）
A.{小于90°的角} C.{第一象限的角} 答案 D
2.将表的分针( )
????A.3 B.6 C.-3 D.-6
的角}，B={第一象限的角}，则
B.{0°～90°的角} D.以上都不对
10
A∩B等于
拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是
答案 C
3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是
( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C
4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?等于 （ ）
A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D. -cos2 答案 D
2x5??45.是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin?的值是
（ ）
261010A.4 B.4 C.4 D.-4
答案 A
例1 若?是第二象限的
??2?,2 ,3的终边所在位置.
角，试分别确定
解 ∵?是第二象限的角，
∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
?（2）∵k2180°+45°＜2 ＜k2180°+90°（k∈Z），
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当k=2n（n∈Z）时，
?n2360°+45°＜2＜n2360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z）时，
?n2360°+225°＜2＜n2360°+270°. ?∴2是第一或第三象限的角.
?（3）∵k2120°+30°＜3＜k2120°+60°（k∈Z），
当k=3n（n∈Z）时，
?n2360°+30°＜3＜n2360°+60°；
当k=3n+1（n∈Z）时，
?n2360°+150°＜3＜n2360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z）时，
?n2360°+270°＜3＜n2360°+300°. ?∴3是第一或第二或第四象限的角.
例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r,
?180?????????∴=-2=(-2)3≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,
?11∴扇形的面积为S=2r2?=2（?-2）r2.
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) ①
1扇形的面积S=2lr，将①代入，得 1S=2(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时
ll=20-235=10,?=r=2.
所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例3 （12分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.
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解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 2分 则x=4t,y=-3t, r=
x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5
|t|,
4分
当t＞0时，r=5t,
y?3t3x4t4?????5,cos?=r5t5, sin?=r5ty?3t3???4; tan?=x4t
8分
y?3t3???r?5t5, 当t＜0时，r=-5t,sin=x4t4???5, cos?=r?5ty?3t3???4. tan?=x4t
10分
?433?5,cos?=5,tan?=4;
综上可知，t＞0时，sin?=
433?t＜0时，sin?=5,cos?=-5,tan?=4.
12分
例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合:
13?(1)sin?≥2;(2)cos?≤2.
3解 （1）作直线y=2交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的
区
域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为
?2?|2k?+3≤?≤2k?+3?，k∈Z .
（2）作直线x=
?12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中
阴影部分）
即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为
24????|2k??????2k???,k?Z?33?. ?
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?1.已知?是第三象限角，问3是哪个象限的角？
解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），
?60°+k2120°＜3＜90°+k2120°.
①当k=3m(m∈Z)时，可得
?60°+m2360°＜3＜90°+m2360°（m∈Z）. ?故3的终边在第一象限.
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得
?180°+m2360°＜3＜210°+m2360°（m∈Z). ?故3的终边在第三象限.
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得
?300°+m2360°＜3＜330°+m2360°（m∈Z）. ?故3的终边在第四象限.
?综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.
2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长；
（2）求弓形OAB的面积.
2?2?解 （1）∵?=120°=3rad，r=6，∴ 的弧长为l=336=4?.
112?113(2)∵S扇形OAB=2lr=234?36=12?，S△ABO=2r22sin3=236232=93，
∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.
3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.
解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.
2222∴r=x?y=0?t=|t|.当t＞0时，r=t,
ytyx0sin?=r=t=1,cos?=r=t=0,tan?=x不存在； yt当t＜0时，r=-t，sin?=r=?t=-1, 0yxcos?=r=?t=0,tan?=x不存在.
综上可知,sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：
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（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.
1解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥2.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
?????2k??3,2k??3??（k∈Z）. ∴x∈?333（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜4,∴-2＜sinx＜2.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),
??∴x?（k?-3,k?+3）（k?Z).
一、选择题
???1.已知cos2tan＜0,那么角
（ ）
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案 C 2.
若
3是
0＜x＜
?2，则下
3列命题中正确的
4
是
x2
（ ） A.sinx?x B. sinx>?x2x C. sinx
42
答案 D 3.与610°角终边相同的角表示为 （ ）
A. k2360°+230°(k∈Z) B. k2360°+250°(k∈Z) C. k2360°+70°(k∈Z) D. k2360°+270°(k∈Z)
答案 B 4.
已
知
（
12）sin2
?＜1,则
?所在象限为
（ ）
A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限 答案 D
5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第几象限 （ ）
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