∴定义域为
5?????2k?,k?Z??x|?2k??x?4?4?.
方法三 sinx-cosx=2sin
(x??)4≥0，
?将x-4视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 ?可知2k?≤x-4≤?+2k?, ?5?解得2k?+4≤x≤4+2k?,k∈Z.
?5????2k?,k?Ζ??x|2kx??x?44?. 所以定义域为?例2求下列函数的值域：
sin2xsinx（1）y=1?cosx;
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos3(??x)+2cosx.
2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)1?cosx1?cosx解 （1）y==
11(cosx?)22-2. =2cos2x+2cosx=2
于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,
11∴y＜4，且ymin=-2,当且仅当cosx=-2时取得.
?1???2,4??. 故函数值域为?（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,
t2?1即sinxcosx=2.
t2?11(t?1)2?1有y=f(t)=t+2=2.
又t=sinx+cosx=2sin∴-2≤t≤2.
(x??)4，
1(t?1)2?1故y=f(t)= 2(-2≤t≤2),
1从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+2.
1???1,2??2??. 即函数的值域为?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
（3）y=2cos3(??x)+2cosx
??=2cos3cosx-2sin3sinx+2cosx
=3cosx-3sinx
?3?1?cosx?sinx??2?2? =23?=23cos
cos(x?(x??)6.
?∵
)6≤1
∴该函数值域为［-23，23］.
x(?x)例3（12分）求函数y=2sin4的单调区间.
解 方法一 y=2sin4(??x)化成y=-2sin
(x??)4.
1分
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
?????2k??2,2k??2???（k∈Z),
?3???2k??,2k???22??? (k∈Z),
3分
(?∴函数y=-2sin4?x)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定
??3?即2k?+2≤x-4≤2k?+2（k∈Z),
7?3?2k?+4≤x≤2k?+4（k∈Z),
???2k?-2≤x-4≤2k?+2（k∈Z), ?3?即2k?-4≤x≤2k?+4（k∈Z).
11分
∴函数y=2sin4(??x)?3????2k??4,2k??4??（k∈Z), 的单调递减区间、单调递增区间分别为?3?7????2k??4,2k??4???（k∈Z).
?
?x
12分
方法二 y=2sin4(??x)可看作是由y=2sinu与u=4
复合而成的.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
? 1分
?x
又∵u=4
为减函数，
??∴由2k?-2≤u≤2k?+2（k∈Z), ?3?-2k?-4≤x≤-2k?+4 (k∈Z).
?3?????2k??,?2k??(?x)??44?（k∈Z）为y=2sin4即?的递减区间. ?3?由2k?+2≤u≤2k?+2 (k∈Z), ??3?即2k?+2≤4-x≤2k?+2 (k∈Z)
5??得-2k?-4≤x≤-2k?-4 (k∈Z),
5??????2k??,?2k??(?x)??44?（k∈Z)为y=2sin4即?的递增区间.
11分
(?综上可知：y=2sin4?x)的递增区间为
5?????2k??,?2k???44???（k∈Z）；
?3?????2k??4,?2k??4??（k∈Z）. 递减区间为?
12分
1?2cos(?x)21.求f(x)=的定义域和值域.
???2??x?解 由函数1-2cos?2?≥0,得sinx≤2,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的
?定义域是
5????x?2k??,k??x|2k??44???Z ?.
???2??x?当sinx=cos?2?=2时，ymin=0; ?????x?当sinx=cos?2?=-1时，ymax=1?2.
所以函数的值域为［0，1?2］.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
2cos4x?3cos2x?1cos2x2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.
?解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+2，
k???24（k∈Z）. 解得x≠
k????且x??,k?Z??xx?R,24?. 所以f(x）的定义域为?2cos4x?3cos2x?1(2cos2x?1)(cos2x?1)cos2xcos2x又f（x)= =
=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数.
k???24,k∈Z. 显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠
1∴-sin2x≠-2.所以原函数的值域为
11???y|?1?y??或??y?0?22??.
?????2x??的单调递减区间； 3.（1）求函数y=sin?3??x????（2）求y=3tan?64?的周期及单调区间.
?解 （1）方法一 令u=3?2x,y=sinu利用复合函数单调性.
???由2k?-2≤-2x+3≤2k?+2(k∈Z),得
5??2k?-6≤-2x≤2k?+6（k∈Z),
?5?-k?-12≤x≤-k?+12 (k∈Z), ?5?即k?-12≤x≤k?+12（k∈Z).
?5????k??12,k??12?? (k∈Z). ∴原函数的单调递减区间为????????2x???2x??3?,欲求函数的单调递减区间，3?的单调递方法二 由已知函数y=-sin?只需求y=sin?增区间.
???由2k?-2≤2x-3≤2k?+2（k∈Z),
?5?解得k?-12≤x≤k?+12（k∈Z).
?5???k??,k???1212??（k∈Z）. ∴原函数的单调递减区间为???x??x????????64? =-3tan?46?, （2）y=3tan?21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
∴T=
????x?????=4,∴y=3tan?64?的周期为4?.
x????由k?-2＜46＜k?+2， 4?8?得4k?-3＜x＜4k?+3 (k∈Z),
?x?????y=3tan?46?的单调增区间是
4?8?????x?,4k???4k??????33??(k∈Z）∴y=3tan?64?的单调递减区间是 4?8???,4k???4k???33? (k∈Z). ?
一、选择题 1.
已
知
函
数
y=tan
?(???x在
,)22内是减函数,则
（ ）
A.0＜?≤1 ?B.-1≤?＜0 ?C.?≥1 ?D.ω≤-1? 答案?B??
2.（20092 连云港模拟）若函数y=sin(?x??)(??0)的最小正周期为4，且当x=2时y取得最小值,则?的一个可 能值是 （ )
??A.4 B.3 ?C.2 D.?
答案 C
???3.函数f(x)=tan?x (?＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4所得线段长为4,则f(4)的值是
( )
A.0 B.1
?C.-1 D.4
答案 A 4.函数( )
?y=2sin（6-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网