?3?????125?4??27?3?1????=?4?.
2
12分
例3 已知tan?=2,求下列各式的值：
2sin??3cos?（1）4sin??9cos?;
2sin2??3cos2?22（2） 4sin??9cos?;
（3）4sin2?-3sin?cos?-5cos2?.
2tan??32?2?3???14tan??94?2?9解 （1）原式=.
2sin2??3cos2?22（2）4sin??9cos??2tan2??34tan2??9?2?22?34?22?9?57.
（3）∵sin2?+cos2?=1,
∴4sin2?-3sin?cos?-5cos2?
4sin2??3sin?cos??5cos2?sin2??cos2?4tan2??3tan??5=
=
tan2??1?4?4?3?2?5?14?1.
1.化简
3???tan(???)cos(2???)sin?????2??cos(????)sin(????).
???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??cos(???)???sin(???)?解 原式=
?????(?tan?)???cos(???)????sin??????2???(?cos?)?sin?= ?tan??cos??(?cos?)?tan??cos??cos??sin?sin?=?=
=
?sin?cos??cos?sin?=-1.
12.已知sin? +cos?=5,?∈(0,?).求值：
（1）tan?;（2）sin?-cos?;（3）sin3?+cos3?.
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1解 方法一 ∵sin?+cos?=5,?∈(0,?), 1∴(sin?+cos?)2=25=1+2sin?cos?， 12∴sin?cos?=-25＜0.
由根与系数的关系知，
121sin?,cos?是方程x2-5x-25=0的两根，
43解方程得x1=5,x2=-5.
∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?4∴（1）tan?=-3. 7（2）sin?-cos?=5. 37（3）sin3?+cos3?=125.
43=5,cos? =-5.
方法二 （1）同方法一.
（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?2cos?
?12?49???=1-23?25?=25.
∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,
7∴sin?-cos?=5.
（3）sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)
?12?371?1??5=3?25?=125.
3.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z).
4sin??2cos?求:（1）5cos??3sin?;
12（2）4sin2?+5cos2?.
解 由已知得cos(?+k?)≠0,
∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.
4sin??2cos?4tan??2??105cos??3sin?5?3tan?（1）.
12212sin??cos2?tan2??124545?722225. （2）4sin2?+5cos2?=sin??cos?=tan??1
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一、选择题 1.
?是第四象限角，tan
?=
?512，则sin
?等于
（ ）
115A.5 B.-5 C.13 5D.-13
答案 D
2.（20082浙江理，8）若（ ）
cos?+2sin?=-5,则
tan?等于
11?A.2 B. 2 C.2
D.-2 答案 B
3.（20082 四川理，5）设0≤?＜2?,若sin?＞3cos?,则?的取值范围是 （ ）
(,)(,?)32A. B. 3
??? C.
?4?(,)33
?3?(,)D.32
答案 C 4.
设
0
≤
x
＜
2
?，且
1?s2xin=sinx-cosx
，则
（ ）
??A.0?x?? B.4??x?7?4?
?C.4?x??3?5??x?4 ?D.22?
答案?C?? ?5.sin2(+
（ ）
?)-cos(
?+
?)cos(-
?)+1的值为
A.1 B.2sin2? C.0 D.2
答案 D 6.若sin（ ）
??+cos
?=tan
?
????0????2??，则
?的取值范围是
??(0,)6 B. A.(,)64
(,) C. 43
??(,) D. 32
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答案 C 二、填空题
?1(??)2= . 7.如果cos?=5,且?是第四象限的角,那么cos
26答案 5
sin2(???)?cos(???)?cos(???2?)tan(???)?sin3(?28.化简:
??)?sin(???2?)= .
答案 1 三、解答题
19.已知cos(?+?)=-2,且?是第四象限角，计算：
（1）sin(2?-?); （2）
sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?) (n∈Z).
111解 ∵cos(?+?)=-2,∴-cos?=-2,cos?=2,
又∵?是第四象限角，∴sin?=-（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］
1?cos2???32.
3=sin(-?)=-sin?=2.
sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??sin(??2n?)?cos(??2n?)（2）=
sin(2n?????)?sin(?2n?????)sin(2n???)?cos(?2n???)
sin(???)?sin(????)sin??cos?=
?2sin?2?sin??sin(???)?=sin??cos?=sin??cos?=cos?=-4.
1?cos4??sin4?6610.化简：1?cos??sin?.
(cos2??sin2?)2?cos4??sin4?22366解 方法一 原式=(cos??sin?)?cos??sin?
2cos2??sin2?2222=3cos?sin?(cos??sin?)?23.
(1?cos2?)(1?cos2?)?sin4?方法二 原式=
(1?cos2?)(1?cos2??cos4?)?sin6?
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sin2?(1?cos2??sin2?)2244=sin?(1?cos??cos??sin?) 2cos2?22222=1?cos??(cos??sin?)(cos??sin?) 2cos2?2cos2?2??.22221?cos??cos??sin?3cos?3 =
sin(k???)cos?(k?1)????.??sin(k?1)???cos(k???)11.设k为整数，化简
解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (m∈Z),则
sin(2m???)cos?(2m?1)????.??sin(2m?1)???cos(2m???)原式=
sin(??)cos(???)(?sin?)(?cos?).???1;sin(???)cos??sin?cos?=
当k为奇数时，可设k=2m+1(m?Z), 仿上可得，原式=-1.
方法二 由(k?+?)+(k?-?)=2 k?, ［(k-1)?-?］+［(k+1)?+?］=2 k?, 得sin(k?-?)=-sin(k?+?),
cos［(k-1)?-?］=cos［(k+1)?+?］ =-cos(k?+?),
sin［(k+1)?+?］=-sin(k?+?).
?sin(k???)??cos(k???)???1.?sin(k???)cos(k???)故原式=
2??????????.求下列各式的值： 12.已知sin(?-?)-cos(?+?)=3?2（1）sin?-cos?;
????sin3?????cos(??).2?2?（2）
2解 由sin(?-?)-cos(?+?)=3,
得
sin??cos??2,3 ①
27 将①式两边平方，得1+2sin?2cos?=9,故2sin?2cos?=-9,
?又2＜?＜?，∴sin?＞0，cos?＜0.
∴sin??cos?＞0.
716(sin??cos?)2?1?2sin??cos??1?(?)?,99 （1）
∴
sin??cos??sin3(43. ??)?cos3(?2?2 （2）
??)?cos???sin3?
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