§6 多目标决策分析简介 一、问题的提出
如设计导弹, 射程远, 耗料少, 命中高等多目标. 如企业生产, 费用最少, 质量最好, 利润最大等. 一般只能是兼顾, 满意等 二、基本概念 一般形式
?f1(x),f2(x),...,fp(x)??V?min??? VP:?gi(x)?0,i?1,2,...,m??其中f1(x),f2(x),...,fp(x)为目标函数,
第 1 页 共 27 页
gi(x)?0为约束条件, x为决策变量. 记
R?{x|gi(x)?0,i?1,...,m},
称为VP的可行解集(决策空间), F(R)=为VP像集. 定义1 设x?R, 若对?x?R, 有
f2?(f1(x),f2(x))fi(x)?fi(x),i?1,2,...,m
则称x为VP的绝对最优解, 解集记Rab.
一般很难, 或根本不存在, 故引入非劣解或有效解. 意大利经济学家Pareto:
第 2 页 共 27 页
?f1当一个国家的资源和产品是以这样一种方式配置时，即没有一种重新配置，能够在不使一个其他人的生活恶化的情况下改善任何人的生活， 则可以说处于Pareto最优.
定义2设x?R, 若不存在x?R, 使
fi(x)?fi(x),i?1,2,...,p
且至少有一个fj(x)?fj(x), 则称x为VP的有效解 (或Pareto最优解),
f2?(f1(x),f2(x))f(x)称为有效点.
第 3 页 共 27 页
f1?有效解集记为Re和有效点集记为Fe?
常转化为加权形式的一个单目标函数
p?p?min??jfj(x)P(?):?, 其中?j?0,??j?1 j?1j?1?x?R?(??(?1,?2,...,?p)T,不加证明地引入: 定理1 设x是单目标问题P(?)的最优解, 若下面两个条件之一成立, 则x?Re? 1) ?j?0,j?1,2,...,p; 2) x是P(?)的惟一解.
第 4 页 共 27 页
定理2 设f1(x),f2(x),...,fp(x)是凸函数. 若设x是多目标问题VP的有效解, 则存在???,使得x是P(?)的最优解.
三、权系数的确定
这里假设: 决策者是根据综合效用(最大)来决策, 则基本思想为: 对重要的分量fj(x), 给大权. 即假设决策者的效用函数为:
p?u(x)???ifi(x)
i?1第 5 页 共 27 页