14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于
E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）
AFDBEC
15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足
DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）
APEBOFMC
16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点
E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）
ADDCTPEB
17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含
A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）
APIBI'CM
18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）
AFSEBDC
19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别
为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。 求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）
AHIFOEBKGCL
20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，
劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）
BQMB1PKCAN
21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（10082001-12.gsp）
CPAOO1BSQDO2UTR
22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的
圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）
LOQPKNM
23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC
延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TF⊥GE。（10092104.gsp）
GATFOBEC
24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一
点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC//PEF的充要条件是M为EF中点。（10092401-6.gsp）
ACOPFEMB
25．过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DE//PQ，BE交PQ延长线于M。求证：OM⊥PQ。（10092103-1.gsp）
DECOQPABM
26．如图，设⊙O1与⊙O2交于AB两点。AC是⊙O2的切线，交⊙O1于C点。
AD是⊙O1的切线，交⊙O2于D点。过A任作直线，交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（10091002-6.gsp）
AO1MCBNO2DP
27．两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形MAHB内接于圆。（10091002-1.gsp）
MO1PBA
28．已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点，且圆O1和圆O2分
别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）
O2HOO1MO2SNT