44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，
自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。（10091701-1.gsp）
AQDEMFBPC
45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向
1BC边作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝∠BAC。求证：DE⊥BC。
2（10081701-1.gsp）
AI1I2BDC
46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求证：
PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp）
AEBPDC
47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=
∠4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）
A12P3BD4C
48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，
E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I1、I2四点共圆。（08081201.gsp）
EAI1BDI2C
49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。 求证：DM⊥BC。（09013101.gsp）
AEFBMCD
50．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp）
PEFKCABO
51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）
DNMCO1DO2APQBO
52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。（09031903.gsp）
AXFDBCEP
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
AOHEBDC
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的
点，且A、E、G、F四点共圆。设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF外心为O2、半径为r2。求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp）
AEFGO1BDO2C
55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证：P、A1、B1、C1四点共圆。（09042401.gsp）
AB1A1PC1BC
56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△
BDF、△CDE的外心。P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP与⊙AEF相交于R点。求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。（09042601.gsp）
AFEMQNCR
57．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp）
PBDPAO1CDO2BEQF
58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的
垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。求证：L、M、N三点共线。（10092101.gsp）
MAZFLHONYEB
XDC