29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交
于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠OMB=90°。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）
BMKNOAC
30．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。（09022301.gsp）
OCADB 31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，
设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OM⊥MP。（10091001.gsp） PQDCMOBP
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线
AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
AOBGMCDN
33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长
线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS共点，求证：点D在⊙O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）
PAEHFRBDCSF
34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△
ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（09033102.gsp）
AEFEOBDC
35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内
心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）
NAIBMC
36．设T为△ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为
△ABD、△ACD的内心。求证：T I1⊥T I2。（10081701-9.gsp）
AI2I1BDTC
37．矩形ABCD中，AB＝2AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、
PD分别交AB于F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）
PAFEBCD
38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线
PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（10081001-4.gsp）
AFOEDCBP
39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别
交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）
PCAEBFO
40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE
垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。（09042001.gsp）
BDKDCFGAOE
41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分
别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（09031302.gsp）
PBCADOFE
42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，
且∠ACP=∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。（10090101-1.gsp）
APQ
43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三
点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：DEPF是平行四边形。（10091701.gsp）
ABCOBDEFCP