u（t）= u（?）+（ u（0+）-u（?））e=2.2+1.8e?2t?t?
v
2-22 图2-020所示电路原已稳定，t=0时，开关S由位置1倒向位置2。用三要素法求iL（t），并作其波形图。
图2-019 题2-21图 图2-020 题2-22图 解：iL（0+）= iL（0-）=3A
i（??2A L?）L5?10?32?????10?3S
R22.59带入公式可得：
iL（t）= i（+（ iL（0+）-i（）eL?）L?）=-2+（3+2）e=5e?4500t?4500t?t?
-2A
第3章 正弦交流电路的分析及应用
一、重点与难点
1、正弦量的三要素
抓住事物的主要矛盾是分析问题的关键，正弦量区别于其他量的三个要素分别为其大小，变化快慢和初相位，如何正确的找到一个正弦量的特征要素是本章的重点，其中的相位差也是本章的难点。
2、正弦量的相量表示
高等数学和工程数学是解决工程问题的数学工具，采用相量表示能大大简化问题分析的难度和数学计算的过程，而相量表示是利用高等数学工具的前提，本部分内容是本章的重点，也是本章的难点。
3、单一参数的正弦交流电路
纯电阻，电感，电容电路的伏安特性，阻抗特性和功率特性是这些元件的基本特性，这三个特性的分析是本章的重点，也是本章的难点。
4、多参数的正弦交流电路
对于复杂的交流电路，如何运用前面学过的知识进行分析其特性，是本章的重点，也是本章的难点。
5、正弦交流电路中的谐振
当电路中电压和电流的相位相同时，电路就达到了谐振状态，谐振分为串联和并联两种，在有些地方需要加以利用，在某些地方需要加以防范，谐振的条件和特点是本章的重点。
6、非正弦周期电路分析
非正弦交流电路是日常生活中经常会遇到的电路，如何衡量非正弦交流电路的作用效果是本章的难点。
二、学习方法指导
1、正弦量的三要素
正弦电流信号的表达式为i(t)?Imsin(?t??i)?2Isin(?t??i) 则：式中I为电流有效值，角频率ω与周期T和频率f的关系为
??2??2?f T2、正弦量的相量表示
一个正弦量由最大值(有效值)、角频率和相位这三个要素确定。在实际电路的分析计算中，同一个电路中一般只有一个频率(或角频率)。因此，在分析计算电路中各处的电压、电流，只要确定最大值(或有效值)和初相位就可以表示该正弦量。表示正弦量的复数
A?rej?称为相量，其中的r表示正弦量的大小，而其中的?表示正弦量的初始相位。对
应于复数四种表示形式，相量可以有与之相同的四种表示形式，例如，对应于
i?2Isin(?t??i)有：
??I?I(cos?i?jsin?i)??
I?Iej?i??I?I??i?I?Ia?jIb同频率正弦量之间的运算可以按照复数的运算法则进行。 3、单一参数的正弦交流电路
R、L、C三元件的电压与电流关系如下： 元件名称 R L C 相量关系 UR?RI UL?jXLI UC??jXCI 有效值关系 UR?RI UL?XLIUC?XCI相位关系 ?u??i ?u??i?90 ?u??i?90 R、L、C三元件的阻抗特性：电阻元件上的电阻和频率无关，由电阻参数唯一确定，电感元件上的感抗和频率成正比，电容元件上的容抗和频率成反比。
R、L、C三元件的功率特性：电阻元件是耗能元件，电阻元件是消耗的功率称为有功功率，电感元件和电容元件是储能元件，不消耗能量，为了衡量电感，电容与电源进行能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，称为无功功率。
4、多参数正弦交流电路
伏安特性：U?IR?jIXL?jIXC?I(R?jXL?jXC) 阻抗特性：
Z?U?R2?(XL?XC)2I ??arctgUL?UC?arctgUR?L?1?C?arctgXL?XC?arctgX RRRRLC串联电路中各电压和电流都是同频率的正弦量。总电压u的有效值(或最大值)，与电流i的有效值(或最大值)成正比例，比例系数就是复阻抗的模|Z|，Z?UmUu??，ImIi总电压u与电流i间的相位差就是电路的阻抗角?，它与电源频率和电路参数R、L、C
有关。当XL＞Xc，u超前i一个?角；XL＜Xc，u落后i一个?角；XL＝Xc时，u与I同相，呈现纯电阻性。
功率特性：在正弦稳态电路中，电容和电感不消耗有功功率，阻抗消耗的有功功率为电阻分量消耗的功率。即
P?UIcos(?u??i) 5、谐振
串联谐振：在RLC串联谐振电路中，谐振时因谐振阻抗最小（Z＝R）从而回路电流最大。
谐振条件：?0L?品质因数：Q0?11 , ?0??0CLC?0LR?11L ??0RCRCL、C上电压：UL?UC?Q0US
并联谐振：在RLC并联谐振电路中，谐振时因谐振阻抗最大，从而谐振电压最大。
谐振条件： ?0L?品质因数：Q0?11 , ?0??0CLCR1C ??0RC??0LRLL、C中电流：IL?IC?Q0IS
三、习题选解
?t?120V)u,?380sin(?t?3-1 写出表示uA?380sin?tV,uB?380sin(C120V的相量，并画出相量)图。
解：UAm?380?0
?0UBm?380??1200
?UCm?380?1200??
3-2 在图3-001所示电路中，求总电流I。已知：i1?100sin(?t?45)，i2?60sin(?t?30)。 解：I1?502?45?50?j50
0I2?302??300?156?j152?37?j21 I?I1?I2?87?j29
可求I=92A
3-3 在图3-002所示各电路图中，除A0和V0外，其余安培计和伏特计的读数在图上标
60Vi出(均为有效值)。试求安培计A0或VV10ARAV0XR伏特计
Ai1100VAi2的读数。 XV10A
图3-001 习题3-2 的图 图3-002 习题3-3 的图
解：A0=14A，V0=80V
3-4 在图3-003中，安培计A1、A2的读数分别为I1＝3A，I2=4A。（1）设Z1＝R，Z2＝－jXC，则安培计A0的读数应为多少？（2）设Z1＝R，问Z1为何种参数才能使安培计A0的读数最大？此读数为多少？（3）设Z1＝－jXL，问Z2为何种参数才能使安培计A0的读数最小？此读数为多少？ 解：（1）设Z1＝R，Z2＝－jXC，则安培计A0的读数应为5A
（2）设Z1＝R，问Z1为纯电阻才能使安培计A0的读数最大，此读数为7A （3）设Z1＝－jXL，问Z2为纯电感才能使安培计A0的读数最小，此读数为1A
V,R?5?,R3-5 在图3-004所示电路中，I1?10A,I2?102A,U?2002?XL，求I、XC、XL、R2。
101L02C2????答：本题略。
3-6 设有一线圈，其电阻可忽略不计，电感L＝35mH，在f＝50Hz，UL＝110V电源的作用下，求：（1）XL值；（2）I及其与UL的相位差?；(3)QL值；(4)在1时线圈储存的磁
4场能量WL。
解：XL=?L=11Ω I=10A，
电流滞后电压90度。 QL=1100var=1.1kvar W=0.5LI2=1.75KW
3-7 日光灯管与镇流器串接到交流电源上，视为RL串联电路。如已知某灯管的等效电阻R1=280Ω，镇流器的电阻R2=20Ω，电感L＝1.65H，电源电压U＝220V，试求电路中的电流和灯管两端及镇流器上的电压。这两个电压加起来是否等于220V？设电源频率为50Hz。
解：XL=?L=520Ω
2Z?R2?XL?600?
I=
220?0.37A 600灯管两端电压为：IR=103v
镇流器阻抗为：202?5202?520? 镇流器电压为520*0.37=192v
两个电压加起来显然不等于220v。
I0A0I1I1A1I2CA2Z2II2U-jXCjXLZ1RR2u1Ru2
图3-003 习题3-4的图 图3-004 习题3-5的图 图3-005 习题3-11的图
3-8 一线圈的等效电阻R＝10Ω，电感L=64mH，通过该线圈的电流为i＝7sin314 tA，求：线圈两端的电压U及电压与电流间的相位差?。 解：XL=?L=314*64*0.001=20Ω
2Z?R2?XL?22?
U?IZ?22?5?110V
相位差为：arctan2
3-9 设有两个复数阻抗Z1?3?j8?和Z2?3?j4?，它们串接在U?220?33.7V的电源上。试用相量法计算电路中的电流I和各个阻抗上的电压U1和U2，并作相量图。 解：Z1?8.54?
Z2?5?
Z?6?j4?7.07? I?U220??31A Z7.07U1?IZ1?265V U2?IZ2?155V