23．（9分）如图，已知顶点为C(0,?3)的抛物线y?ax2?b(a?0)与x轴交于A，B两点，直线y?x?m过顶点C和点B． （1）求m的值；
（2）求函数y?ax2?b(a?0)的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得?MCB?15?？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将(0,?3)代入y?x?m， 可得：m??3；
（2）将y?0代入y?x?3得：x?3， 所以点B的坐标为(3,0)，
将(0,?3)、(3,0)代入y?ax2?b中， ?b??3可得：?，
9a?b?0?1??a?解得：?3，
??b??31所以二次函数的解析式为：y?x2?3；
3（3）存在，分以下两种情况：
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①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则?ODC?45??15??60?， ?OD?OCtan30??3，
设DC为y?kx?3，代入(3，0)，可得：k?3， ?y?3x?3?联立两个方程可得：?， 12y?x?3?3??x1?0??x?33,?2解得：?， y??3y?6??1?2所以M1(33，6)；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则?OEC?45??15??60?， ?OE?OCtan60??33，
设EC为y?kx?3，代入(33，0)可得：k??3y?x?3??3联立两个方程可得：?，
1?y?x2?3?3?3， 3?x?0??x?3,?2解得：?1， y??3??1?y2??2所以M2(3，?2)，
综上所述M的坐标为(33，6)或(3，?2)．
24．（9分）如图，四边形ABCD中，AB?AD?CD，以AB为直径的O经过点C，连接
AC、OD交于点E．
（1）证明：OD//BC；
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（2）若tan?ABC?2，证明：DA与O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交O于点F，连接EF，若BC?1，求EF的长．
【解答】解：（1）连接OC，
在?OAD和?OCD中， ?OA?OC??AD?CD， ?OD?OD???OAD??OCD(SSS)，
??ADO??CDO，
又AD?CD，
?DE?AC，
AB为O的直径，
??ACB?90?，
??ACB?90?，即BC?AC， ?OD//BC；
（2）tan?ABC?AC?2， BC?设BC?a、则AC?2a，
?AD?AB?AC2?BC2?5a，
OE//BC，且AO?BO，
?OE?
111BC?a，AE?CE?AC?a， 222第18页（共22页）
在?AED中，DE?AD2?AE2?2a， 在?AOD中，AO2?AD2?(?AO2?AD2?OD2，
??OAD?90?，
5a2252125)?(5a)2?a，OD2?(OE?DE)2?(a?2a)2?a2， 2424则DA与O相切；
（3）连接AF，
AB是O的直径，
??AFD??BAD?90?，
?ADF??BDA， ??AFD∽?BAD，
?
DFAD，即DFBD?AD2①， ?ADBD又?AED??OAD?90?，?ADE??ODA，
??AED∽?OAD，
?
ADDE，即ODDE?AD2②， ?ODADDFDE， ?ODBD由①②可得DFBD?ODDE，即又?EDF??BDO，
??EDF∽?BDO， BC?1，
55、ED?2、BD?10、OB?，
22EF2EFDE，即， ???OBBD5102?AB?AD?5、OD?解得：EF?2． 2OAB绕点O顺25．（9分）已知Rt?OAB，?OAB?90?，?ABO?30?，斜边OB?4，将Rt?时针旋转60?，如图1，连接BC． （1）填空：?OBC? 60 ?；
（2）如图1，连接AC，作OP?AC，垂足为P，求OP的长度；
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（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在?OCB边上运动，M沿O?C?B路径匀速运动，N沿O?B?C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，?OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB?OC，?BOC?60?，
??OBC是等边三角形， ??OBC?60?．
故答案为60．
（2）如图1中，
OB?4，?ABO?30?，
1?OA?OB?2，AB?3OA?23，
2?S?AOC?11OAAB??2?23?23， 22?BOC是等边三角形，
??OBC?60?，?ABC??ABO??OBC?90?，
?AC?AB2?BC2?27，
?OP?2S?AOC43221??． AC727
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