2012年各地中考数学压轴题精选31~40_解析版
【31. 2012娄底】
22
24．已知二次函数y=x﹣（m﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足
．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去；
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．
解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
令y=0，即x﹣（m﹣2）x﹣2m=0 ①，则有： x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．
2
2
∴===，
化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意． ∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形． 如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点． ∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点， ∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2． ∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC， ∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB． 在Rt△PAD与Rt△CBO中，
2
∵，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO， ∴PD=OC=2，即yP=2，
∴直线解析式为y=x+3，
∴xP=﹣1，
∴P（﹣1，2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．
点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．
【32. 2012福州】
2
22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m
的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足
△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 考点：二次函数综合题．
分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2) 根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式
为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标； (3) 综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
特别注意求出P点坐标
之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．
解答：解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
9a＋3b＝0a＝1
∴ 16a＋4b＝4，解得：b＝－3．
∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1．
∴ 直线OB的解析式为y＝x．
∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m． ∵ 点D在抛物线y＝x－3x上． ∴ 可设D(x，x2－3x)．
又点D在直线y＝x－m上，
∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，
∴ D点坐标为(2，－2)．
(3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1
∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝4． 1
∴ 直线A'B的解析式是y＝4x＋3．
2
∵ ∠NBO＝∠ABO， ∴ 点N在直线A'B上，
12
∴ 设点N(n，4n＋3)，又点N在抛物线y＝x－3x上，
1
∴ 4n＋3＝n2－3n，
3
解得：n1＝－4，n2＝4(不合题意，会去)， 345
∴ 点N的坐标为(－4，16)．
方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 345
则N1(－4，－16)，B1(4，－4)， ∴ O、D、B1都在直线y＝－x上． ∵△P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N1OB1， OP1OD1∴ ON1＝OB1＝2，
345
∴ 点P1的坐标为(－8，－32)．
453
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(32，8)．
345453
综上所述，点P的坐标是(－8，－32)或(32，8)．
方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，