453
则N2(16，4)，B2(4，－4)， ∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N2OB2， OP1OD1∴ ON2＝OB2＝2， 453
∴ 点P1的坐标为(32，8)．
345
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－8，－32)． 345453
综上所述，点P的坐标是(－8，－32)或(32，8)．
点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一
次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．
【33. 2012南昌】
2
27．如图，已知二次函数L1：y=x﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下．
抛物线的对称轴方程：x=﹣；顶点坐标：（﹣，）．
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析．
②联系直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化．
解答：解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣=﹣=2，==﹣1；
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）． （2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质： 对称轴为x=2或定点的横坐标为2， 都经过A（1，0），B（3，0）两点； ②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点， ∴kx2﹣4kx+3k=8k， ∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，
解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6， ∴线段EF的长度不会发生变化．
点评：该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握．
【34. 2012?恩施州】
24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；
（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
解答： 解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
△APH
，
解得，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直线AC为y=x+1；
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6， 3），由（1）得D（1，4）， 故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 则m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2） ∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则F（x，x+3）， ∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去） ∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方， 则F（x，x﹣1） 由F在抛物线上 ∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1 设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3） ∴PQ=（﹣x+2x+3）﹣（x﹣1） =﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ?AG =（﹣x2+x+2）×3 =﹣（x﹣）2+
2
∴面积的最大值为．
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3
2
=﹣x+x+3 =﹣（x﹣）+
2
2
．
∴△APC的面积的最大值为
点评： 本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．
【35. 2012?兰州】
28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．