∴
②当△DHP∽△ACB时有：
即： 整理
∴ （舍去）此时，
∴
综上所述，满足条件的点有两个即
点评：这是一个二次函数开放性的综合题，解决问题的思路容易建立，切入点也好找， 但运算难度较大。出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题，那就是 每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器，所以遇到分数运算时 没有信心进行运算，最后还是放弃了。因此在这里要提醒每一位学生在平时计 算的练习中多用心算和笔算，才能提高自己的运算能力。
【37. 2012荆门】
24. 如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）． 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1． ∴y=﹣x+2x+3．
则点B（1，4）．
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）． 在Rt△AOE中，OA=OE=3， ∴∠1=∠2=45°，AE=
=3
．
2
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM， ∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°． ∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE， ∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°． ∴∠CBA=90°，即CB⊥AB． ∴CB是△ABE外接圆的切线．
=
．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形； ①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）． ②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠
=tan
BAE=；
而DE==
，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9
即：P2（9，0）；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠
BAE=；
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；
综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．
（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得∴y=﹣2x+6．
解得
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．
情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得解得HK=2t．
，即．
∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t?2t=﹣t2+3t．
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得解得IQ=2（3﹣t）．
．即，
∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．
综上所述：s=．
【39. 2012?黔东南州】
24．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
2
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m+3m）?3=﹣（m﹣）2+
2
（0＜m＜3）；
．
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
【40. 2012广东珠海】
21. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=
，DC=
，高CE=
，对角线AC、
BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒． （1）填空：∠AHB= ；AC= ； （2）若S2=3S1，求x；
（3）设S2=mS1，求m的变化范围．