考点： 二次函数综合题。
分析： (1)根据抛物线y＝经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝
上，得出b，c即可；
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可．
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可；
(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． 解答： 解：(1)∵抛物线y＝∴c＝4，
∵顶点在直线x＝上， ∴
∴所求函数关系式为
(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝
， ；
；
经过点B(0，4)
，得到ON＝
，进而表示出
∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 当x＝5时，y＝
当x＝2时，y＝
∴点C和点D都在所求抛物线上；
， ，
(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则，
解得：∴
，
，
当x＝时，y＝∴P()，
(4)∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴即得ON＝设对称轴交x于点F， 则∵
(
S＝
(－
，
，
(PF＋OM)?OF＝ (＋t)×
， )×＝)，
，
，
＝－(0＜t＜4)，
S存在最大值． 由S＝－∴当S＝
(t－
时，S取最大值是
)． )2＋
，
，
此时，点M的坐标为(0，
点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．
【36. 2012南通】
28．（本小题满分14分）
1
如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝2x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
1 2 7
(2)将抛物线y＝2x＋bx＋c向上平移2个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围； (3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长． 【考点】二次函数综合题．
【专题】分类讨论．
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐
标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围． （3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△
ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．
1 2
【解答】解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=2x+bx+c中，得：
0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0 ， 解得： b=-1 c=-4
1
∴抛物线的解析式：y=2x2-x-4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为： 1 2
y=2（x+m）-（x+m）-4+7 2 ， 1 2
即：y=2 x+（m-1）x+1 2 m2-m-1 2 ；
它的顶点坐标P：（1-m，-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）； 那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=5 2 ； 当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2； ∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜5 2 ； 又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2 ．
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形； 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB； 如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1； 易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2； ∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6； 而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，
∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2． 综上，AM的长为6或2．
【点评】考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过
构建相似三角形是打开思路的关键所在．
【36. 2012常德】
1.如图11，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由。
知识点考察：①二次函数解析式的确定，
②勾股定理及其逆定理的应用， ③相似三角形的性质，
④坐标系中点的坐标的特征，
⑤抛物线与X轴的交点，⑥一元二次方程的解法， ⑦垂直的定义。
⑧二元一次方程组的解法。
能力考察：①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力，
④综合运用知识的能力，⑤分类讨论的能力。⑥动点的探求能力 ⑦准确的计算能力。
分析：①求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，
只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。
②求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用 勾股定理及其逆定理去考察。
③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？先要选择一点P 然后自P点作垂线构成Rt△PHD，把两个三角形相似作条件，运用三角形 相似的性质去构建关于P点横坐标的方程。
解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人中，整理得：
解得
∴二次函数的解析式为：
整理得：
（2）由 整理
，
∴X1=-2 ，X2= ∴C （-2，0） D
从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴ AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
（3）设 （X<0）
PH= HD= AC= BC=
①当△PHD∽△ACB时有：
即： 整理
∴ （舍去）此时，