毕 业 论 文（设计）
论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用
系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2004104509 姓 名： 林 庆 指导教师： 娄祖安 时 间： 2008年5月25日
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河 池 学 院
毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告
系别: 数学系 专业:数学与应用数学 论文 凸函数的判别和应用 题目 选题意义 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。 学生姓名 林庆 学 号 2004104509 研究综述(前人的研究现状及进展情况) ??lder,Jensen和 Minkowski的工凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后 Ho作，但引起人们广泛重视的工作则是20世纪40——50年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研究，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成为最优化理论的一个活跃方向。 研究的主要内容 以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用。 2
拟采用的研究方法、步骤 研究方法：1文献资料查阅法；2讨论交流法；3网络查询法． 研究步骤：1拟定论文题目；2收集文献资料；3拟定论文提纲；4填写毕业论文开题报告；5撰写论文初稿；6审批论文初稿;7定稿打印． 研究工作进度安排 （1） 1月份，听毕业论文撰写指导讲座； （2） 1月上旬-2月下旬，选定毕业论文题目； （3） 2月下旬-3月上旬，收集整理相关资料及论文提纲； （4） 3月上旬-3月中旬，填写毕业论文开题报告； （5） 3月中旬-4月上旬，撰写论文初稿； （6） 4月上旬-4月下旬，审批论文初稿； （7） 4月下旬-6月上旬，修改、定稿打印、论文答辩． 参考文献目录 [1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001． [2]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993． [3]李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)． [4]张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003． [5]贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006． [6]吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980． [7]朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）． 指导教师意见 选题符合要求、进度安排合理、同意开题. 签字： 年 月 日 教研室主任意见 准备充分，同意开题. 签字： 年 月 日 3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学
指导教师意见： 林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义，文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮助和实用价值. 该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出一般的情形. 该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文. 初评成绩： 签字： 年 月 日
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毕业论文（设计）答辩记录
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学
【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常??lder不等式和Cauchy不等式；第二是通过七个例子说明凸函数用不等式，如Jensen不等式,H o在初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理１通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？ 答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间．因为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如f(x)?sinx在(0,?)上是凹函数．在(?,2?)上是凸函数． 2、问：就论文第一页的定义１说明凸函数的几何意义． 答：凸函数的定义１为f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)，??（0，1），在定义域上取两点x1，x2，那么当??0时，?x1?(1??)x2表示点x2，当??1时，?x1?(1??)x2表示点x1，当?取遍(0,1)中的数时，x??x1?(1??)x2表示点x1到x2之间的线段．对应的函数值f(x)?f(?x1?(1??)x2)为区间[x1,x2]上曲线上的弧．同样，?f(x1)?(1??)f(x2)表示点f(x1)到点f(x2)之间的连线段（弦），那么f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)就表示曲线f(x)上两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的连线段都在f(x)的上方． 3、问：是不是每个函数都具有凸性？ 答：不一定，要对具体的函数进行分析．由定义１知，只要满足对?x1,x2?I，都有f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)这样的函数都具有凸性．如f(x)?sinx在(0,?)上是凹函数．在(?,2?)上是凸函数．但在(0,2?)上没有凸性可言． 签字： 年 月 日
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