至多在该弦上．而凹函数的几何意义为，凹函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦上面，至多在该弦上（如图4所示）．
这样利用函数的几何意义，做出该函数某定义区间I内的图象，假如向下凸，便是凸函数，如果向上凸，便是凹函数．如此对一些基本初等函数的凸性便可快速判别了．如： （1）y?sin?，为（0，?）上的凹函数． （2）y?cos?，为（0，
?）上的凹函数． 2（3）y?ax（a?0且a?1），为(??,??)上的凸函数．
（4）y?ax2，当a?0时，为(??,??)上的凸函数；当a?0时，为(??,??)上的凸函数．
)上的凹函数；当0?a?1，为(0,??)上的凸函数．（5）y?logax，当a?1，为(0,??
（6） y?x(n?N?，x?(0,??))，为(0,??)上的凹函数．
以上判别凸函数的三种方法中，方法2中的定理3由于形式简单，应用方便，成为判别函数凸性的首选方法．但在解题过程中，如对有些既难以求导又难以画出图象的函数，运用其它方法倒是不错的选择．所以灵活选用适当的方法，便能提高解题的速度．
1n３ 凸函数的应用
由于凸函数有许多重要的性质，所以它的应用极为广泛．其中在不等式的证明中，如能巧妙地应用凸函数的定义和性质，便能收到意想不到的效果．这里对凸函数的应用
??lder)主要是用定义去证明詹森(Jensen)不等式，然后用詹森不等式去证明赫尔德(Ho不等式，进而得出柯西(Cauchy)不等式．最后应用这些性质去证明一些常见的不等式，并通过例子说明凸函数在高等数学和初等数学里的一些应用．
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3．1 用凸函数证明Jensen不等式
Jensen不等式的形式：若f为[a,b]上的凸函数，则对任意
xi?[a,b],?i?0(i?1,2,?,n),??i?1，有f(??ixi)???if(xi)．
i?1i?1i?1nnn证明 应用数学归纳法，当n?2时，由定义1知命题成立；
设n?k时，命题成立，即对?x1,x2,?,xk?[a,b]及?i?0(i?1,2,...,k),??i?1，
i?1k都有 f(??ixi)???if(xi) ．
i?1i?1kk现设x1,x2,?,xk,xk?1?[a,b]及?i ?0 (i?1,2,?,k?1)， ??i?1，
i?1k?i令?i?， i?1,2,?,k， 则??i?1，由数学归纳法假设可推得
1??k?1i?1k?1f[?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1]?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1]1??k?1?(1??k?1)f(?1x1??2x2????kxk)??k?1f(xk?1) ?(1??k?1)[?1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)]??k?1f(xk?1)?k??2?(1??k?1)[1f(x1)?f(x2)???f(xk)]??k?1f(xk?1)1??k?11??k?11??k?1?f[(1??k?1)???if(xi).i?1k?1即当n?k?1时，命题也成立．
这就证明了对任何正整数n，Jensen不等式成立． 我们看到在以上的证明过程中，第一个不等号的上一步将
?1x1??2x2??????kxk整体
1??k?1看成凸函数定义1中的x1，xk?1看成x2，利用凸函数定义1得到第一个不等号，这是利用凸函数证明Jensen不等式最重要的一步．第二个不等号是根据归纳中的假设得到的，然后代换?i，整理便完成了证明．这里最巧妙的是令?i?所在．
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?i，这是完成证明的关键
1??k?1
??lder不等式 3．2 用凸函数证明Ho??lder不等式的形式:设ai,bi?0,(i?1,2,?,n)，有 Ho?aibi?(?a)(?b)，其中p?0,q?0，
pii?1i?1i?1nnn1pn1qqi11??1． pqnnpqqi??lder不等式两边p次方得(?aibi)p?(?aip)(?b)，分析 先将Ho从这个不等式
i?1i?1i?1联想到要找的凸函数为f(x)?xp，而这个不等式的形式与Jensen不等式的形式相似．难点是不容易看出该不等式的?i是什么．而从问题的已知条件
11p??1知q?，然后pqp?1从Jensen不等式的证明过程中?i的巧妙设法得到启发，将上面的不等式再变形为
(?i?1nbiq?bi?1nq?ai)??pi?1nbiqi?bi?1nq?a，这样?i??pii?1nbiqi?bi?1n．到此不等式的左边已经出现了
qi(?aibiq)p，为了消去biq中的q次方，可以令xi?aibi1?q，从而不等式的左边就是
i?1nn??lder不等式的证明． (?aibi)p．最后经过整理便可完成Hoi?1证明 令f(x)?xp,p?1,x?0，因为f?(x)?p(p?1)xp?2?0，由凸函数判别定理3知f(x)?xp,p?1,x?0在(0,??)上是凸函数．由Jensen不等式，得
(??ixi)???ixip，
pi?1i?1nn今设u1,u2,?,un为非负实数且?ui?0，在上述表达式中以
i?1nui?ui?1n代替?i，得到
i (?uixi)?(?uix)(?ui)p?1．
ppii?1i?1i?1n11pq1?q由已知??1知q?，令ui?bi,xi?ai(bi)，不妨设?bi?0，代入上式便得
pqp?1i?1nnn??lder不等式： Ho
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?aibi?(?a)(?b)．
i?1i?1i?1nn1ppin1qqi3．3 用凸函数证明Cauchy不等式
Cauchy不等式的形式：若ai,bi?R,(i?1,2,?,n)，则(?aibi)??a2i?1i?1nn2i?bi?1n2i，其中等
号当且仅当ai与bi成比例时成立．
分析 Cauchy不等式最简单的证法是构造一个非负的二次函数，由其判别式不大于零获证．即f(t)??(ait?bi)?t2i?1n2n2?ai?1nn2i?2t?aibi??bi2，因为判别式
i?1i?12nnn ??(?2?aibi)?4(?ai)(?bi2)?0，
i?1i?1i?1即(?aibi)??a2i?1i?1nn2i?bi?1n2i??lder 不等式的形式相似，由．而Cauchy不等式的形式和Ho??lder不等式的证明过程得到启发，可设f(x)?x2，根据凸函数的性质去证明． Ho证明 设 f(x)?x2(x?R)，因为f?(x)?2?0，根据定理3知 f(x)?x2是
(??,??)上的凸函数，由Jensen不等式得
(??ixi)???ixi2．
2i?1i?1nn令?i?bi2?bi?1n2inai，xi?， 且?bi2?0，代入上式得
bii?1(?i?1nbi2?bi?1ni?1n2iai2nbi2a?)??n?(i)2， bibi?1?bi2ii?1化简得 (?aibi)??a2i?1n2i?bi?1n2i．
在高等代数和初等数学中，都会遇到许多不等式证明的问题，下面通过一些例子说明凸函数的定义和以上三个重要不等式在证明一些特殊不等式中的应用．在证明某些不等式的过程中，重要的是选取合适的凸函数，凸函数选好了，证明也就比较容易地得到
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解决了．
例1 证明（1）对任意实数a,b有e （2）(a?b21?(ea?eb)； 2x?yn1n)?(x?yn)（x,y?R?,n?1）． 22a?b2分析 观察（1）中的不等式e而（2）中的不等式(1?(ea?eb)的形式，很容易联想到指数函数ex，2x?yn1n)?(x?yn)，也容易联想到幂函数xn，再由凸函数的判别22方法2中的定理3，易知函数ex和xn都是某定义I上的凸函数．根据相关定义及定理，问题得到解决．
证明 （1）令f(x)?ex,x?R，因为f?(x)?0，所以由定理3知f(x)?ex为R上的凸函数．取??1，x1?a,x2?b，由凸函数的定义得 21111f(a?(1?)b)?f(a)?f(b)， 2222a?b2即 e1?(ea?eb)． 2 （2）令f(x)?xn，(x?0,n?1)，由f?(x)?0知f(x)为(0,??)上的凸函数．取
??1，对于x,y有 21111f(x?(1?)y)?f(x)?f(y)， 2222x?yn1n)?(x?yn)． 即 (22例2 证明 设ai?0,(i?1,2,?,n)，有
a1?a2???an ?a1a2?an??111n????a1a2annn22a12?a2???an．
na1?a2???an，不容易直接找到合适的凸函数，如
na?a???ann),这样形如xn的函数都不合适．取nx或者不等式两边n次方后有(12因此，
n分析 观察不等式na1a2?an?要对不等式进行一定的变形．不妨对不等式两边取对数，则有
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