毕业论文（设计）成绩评定表二
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学
专业答辩小组意见： 林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文结果正确，有自己的东西，有一定的价值，可续性较强，达到学士学位论文的要求. 成绩： 签字： 年 月 日 系答辩委员会意见： 总评成绩： 签字： 年 月 日
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凸函数的判别和应用
学生：林 庆
河池学院数学系， 数学与应用数学专业 2004级4班， 广西宜州 546300
指导教师：娄祖安
[摘 要] 有的甚至不在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，能解决．由于凸函数的定义本身就是一个不等式，再就是凸函数的性质方便实用，对不等式的证明起到非常重要的作用．鉴于此，本文主要给出了凸函数的三个定义及其三种判别方法，
??lder不等式和Cauchy然后应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式，如Jensen不等式，Ho不等式，用以解决一些不等式的证明，最后给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用． [关键词] 凸函数；不等式；判别；证明；应用
凸函数是一类非常特殊的函数，它在最优化理论，判别函数极值，研究图象和证明不等式等方面都有广泛的应用．这里给出凸函数的三个定义及三种判别方法，并应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式．然后从教学的角度出发，给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用．
1 凸函数的定义
由于凸函数的重要性，许多学者对此进行过深入的研究，并由此得出凸函数的多种不同定义．这里给出凸函数的三个常见定义．
定义1 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数??（0，1）总有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)， （1） 则称f为I上的凸函数．反之，如果总有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)． （2） 则称f为I上的凹函数．
如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．
定义2 f(x)在区间I上有定义．若对? x1，x2 ? I，有
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f(
x1?x211)?f(x1)+f(x2)． 222则称f为I上的凸函数．
定义3 f(x)在区间I上有定义，当且仅当曲线y?f(x)的切线恒保持在曲线以下，则称f(x)为I上的凸函数．
由于凸函数与凹函数是对偶的概念，前一个有什么结论，后一个亦有相应的结论．所以只需对函数判别凹凸，即可运用凸函数的有关性质．在判别函数凸性和解题过程中,可以根据具体的函数和题目选择合适的定义．
2 凸函数的判别方法
在解题的过程中，我们常常会碰到一些不等式的证明，而这些不等式的证明往往又与凸函数有关．要想运用凸函数的有关性质，首先就要判别该函数的凸性．所以掌握凸函数的一些基本判别方法，有利于提高解题速度．下面先从凸函数的定义出发，探讨判别凸函数的几种基本方法． 2．1 利用定义判别函数的凸性
有些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性．例如要判别f(x)?x2(x?0)的凸性．由定义1，对??(0,1),?x1,x2?0有
?f(x1)?(1??)f(x2)?f(?x1?(1??)x2) ??x12?(1??)x22?[?x1?(1??)x2]2 ?(???2)(x1?x2)2 ??(1??)(x1?x2)2?0， 即 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)． 所以f(x)?x2为(0,??)上的凸函数． 2．2 利用定理判别函数的凸性 下面给出判别函数凸性的三个定理．
定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1?x2?x3，总有
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f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2) ． ??x2?x1x3?x1x3?x2这是斜率表达式．该定理的几何意义如图1所示：
如果用AB,BC,AC表示f(x)曲线上的弦，那么它的几何意义即：kAB?kAC?kBC． 例如判别函数f(x)?ex的凸性，在其定义域(??,??)上，可取x1?x2?x3，则
f(x3)?f(x2)ex3?ex2f(x2)?f(x1)ex2?ex1??kAB，??kBC，从几何意义（如图2）
x2?x1x2?x1x3?x2x3?x2上明显有
f(x3)?f(x2)f(x2)?f(x1)??kBC?kAB?0．
x3?x2x2?x1所以f(x)?ex为(??,??)上的凸函数．
定理2 若f(x)在I上满足：
1x11x21x3f(x1)f(x2)?0 (?x1，x2，x3 ?I， 且x1?x2?x3)，
f(x3)则称f(x)为I上的凸函数．
注 此定理即是定理1中前一个不等式
f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)? 两边同乘
x2?x1x3?x1(x2?x1)(x3?x1)，并移项得
(x3?x2)f(x1)?(x1?x3)f(x2)?(x2?x1)f(x3)?0，
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1x1f(x1)即 1x2f(x2)?0．
1x3f(x3) 例如判别函数f(x)?x2的凸性，则可在其定义域(??,??)上任取x1,x2,x3，且
x1?x2?x3，由该定理得
(x3?x2)x12?(x1?x3)x22?(x2?x1)x32
?(x3?x2)x12?[(x1?x2)?(x2?x3)]x22?(x2?x1)x32 ?(x3?x2)(x12?x22)?(x2?x1)(x32?x22)
?(x3?x2)(x1?x2)(x1?x2)?(x2?x1)(x3?x2)(x3?x2) ?(x3?x2)(x1?x2)(x1?x2?x2?x3) ?(x3?x2)(x2?x1)(x3?x1)?0．
1x1f(x1)即 1x2f(x2)?0，所以f(x)?x2为(??,??)上的凸函数．
1x3f(x3)定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则f 为I上的凸函数的充要条件是
?，0x?I． f?(x) 例如 判别f(x)?ln(x2?1)的凸性．
?2x2?2 分析 由该定理求f(x)的二阶导数得 f?(x)?2，由于分母已经大于0，所
(x?1)2以该函数的凸性由分子决定．当分子?2x2?2?0，即 ?1?x?1时，有f?(x)?0．则
f(x)?ln(x2?1)为[?1,1]上的凸函数；从而在区间(??,?1)?(1,??)上为凹函数． 2．3 利用几何意义判别函数的凸性
在凸函数的定义1中，取 x??x1?(1??)x2，这表示x轴上由点x1到点x2的线段，而y??f(x1)?(1??)f(x2)，这表示由点A(x1,f(x1))到点B(x2,f(x2))，的线段（如图3所示）．于是定义1表示：凸函数图形上任意一段弧的所有点在该弧所对应的弦下面，
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