lnna1a2?an?lna1?a2???an，
n再运用Jensen不等式知道这是可行的．由于lnx是(0,??)上的凹函数，所以取
f(x)??lnx，则f(x)就是(0,??)上的凸函数，问题便迎刃而解．
证明 令f(x)??lnx(x?0)，由于f?(x)?数．由Jensen不等式知，
1?0，所以f(x)为(0,??)上的凸函x2a1?a2??an1??(lna1?lna2???lnan)，
nna?a??an1??(lna1a2?an)??ln(na1a2?an)． 即 ?ln12nna?a???an所以 na1a2?an?12．
n ?ln同理有：
111????aa2an1111?ln1??(ln?ln???ln)，
nna1a2an即 lnn111????a1a2ann111????a1a2an?lnna1a2?an．
所以
?na1a2?an．
对于最后一个不等式，由Cauchy不等式，取bi?1，由(?aibi)??a2i?1i?1nn2i2b?i得 i?1n2 (a1?a2???an)2?n(a12?a22???an)，
再两边乘上
1，然后开平方便得 2na1?a2???an?n22a12?a2???an．
n综上有
16
a?a???an?a1a2?an?12?111n????a1a2annn22a12?a2???an．
n这是关于调和平均，几何平均，算术平均和平方平均的不等式．
下面看一个特例． 证明: 5099?99!． 分析 应用
na1a2?an?n(a1?a2???an1?2???99 有n1?2?3???n?，
nn即 n!?(取n?99即得证．
n?1)2)n=(n?1)n．
2n例3 在?ABC中，求证：(1) sinA?sinB?sinC?(2)tan233； 2ABC?tan2?tan2?1． 222x)?nisx0?证明 (1)令f(x)??sinx,x?(0,?)，则f?(1的凸函数，取??，由Jensen不等式得
3A?B?Cf(A)?f(B)?f(C)f()?，
33，所以f(x)??sinx是(0,?)上
即 ?sinA?siBn?3sCinA?B?C?3??sin??sin??．
33233． 2所以 sinA?sinB?sinC???x(2)令f(u)?u2,u?tan(x?(0,?)),u在(0,)上是凸函数，所以f(u)?u2是(0,)2221上的凸函数，取??，由Jensen不等式得：
3ABC??1A1B1Cf(222)?f()?f()?f()，
3323232ABC???2A2B2C22即 tan?tan?．tan?3tan2(2?)2?3ta n122236例4 (1)设a,b,c,d,e都是实数，且满足条件：a?b?c?d?e?8，
17
a2?b2?c2?d2?e2?16，试确定e的取值范围；
(2)已知a,b?R,a?b?a2?b2?24求a?b的取值范围．
分析 这两个问题都是求取值范围的问题，观察第一个问题，看到有a2，b2，c2和
d2可想到设函数为f(x)?x2．要求e的取值范围，应该用凸函数的性质，可取??1，4平方后会出现16．再应用已知条件，可列出有关e的方程，进而可求e的取值范围．用同样的方法思考问题（2）就容易多了．
解 (1) 设f(x)?x2(x?R)，则f(x)是R上的凸函数，取?i?Jensen不等式得
a?b?c?d2a2?b2?c2?d2)? (， 441（i?1,2,3,4），由4又 a?b?c?d?8?e，a2?b2?c2?d2?16?e2，
8?e216?e216)?从而( ， 解此不等式得e的取值范围为：0?e?． 454(a?b)2(2) 由例2平方平均不等式知：a?b?，从而
222(a?b)2?24． a?b?2x2令a?b?x，则x??24，解此不等式得：?8?x?6，
2所以a?b的取值范围是：?8?a?b?6．
a?b2a2?b2)?在中学数学证明不等式中，基本不等式ab?(应用较多，这是例222的重要不等式取n?2时的情形．
例5 比较360与2+37的大小．
分析 由于60和7都开3次方，考虑把2也写成开3次方的形式，即 2=38，而(7?8)?237?860?，开3次方有360?2?3．所以想到用函数f(x)?22
18
3x的凸性来求解
此题．
证明 因为2=38，360，37，令f(x)?3x，(x?0)，由凸函数判别方法3之（6）知f(x)?3x为(0,??)上的凹函数，所以 f(x1?x21)?f(x1)?f(x2)． 22取x1?7，x2?8，即得 360?2?37?83?7?38?2?37 ． 2注 此问题可归纳为：a,b,?1,?2均为正数，且?1??2?1，有
n?1a??2b??1na??2nb.
证明过程如下：
设f(x)?nx(x?0)，则由凸函数判别方法3之（6）知f(x)?nx(x?0)为(0,??)上的凹函数，则由凸函数的定义直接得n?1a??2b??1na??2nb.
例6 （1）比较3?7与4?6的大小； （2）比较1111??与的大小． 3856分析 对这类问题，可由凸函数的判别方法2的定理1来解．设凸函数f(x)的定义域I上四点a1，b1，a2，b2满足：a1?b1?b2?a2且a1?a2?b1?b2，应用kAB?kAC?kBC，则有
f(b1)?f(a1)f(a2)?f(b2) ?b1?a1a2?b2因b1?a1?a2?b2，所以f(a1)?f(a2)?f(b1)?f(b2)（简括为“两端大于中间”）；假如是凹函数，则只需改变不等号的方向，有f(a1)?f(a2)?f(b1)?f(b2)（简括为“两端小于中间”）．有了这两个结论，对这两个问题就比较容易解决了．
解 (1) 设f(x)?x (x?0)为凹函数，则马上有：3?7?4?6． (2) 设f(x)?11111??? (x?0)为凸函数，则也有：． 3856x 19
注 对于正数a1,a2,b1,b2满足a1?a2?b1?b2且a1?b1?b2?a2，则有以下不等式成立：
(1)(3)b1?b2?a1?a2 ； (2) nb1?nb2?na1?na2 ； 1111． ???b1b2a1a2例7 已知P为△ABC内的一点，BC?a，CA?b，AB?c，点P到△ABC的三边
abc(a?b?c)2（第22届IMO试BC,CA,AB距离分别为d1，d2，d3，求证：???d1d2d32S?ABC题）．
abc(a?b?c)2分析 要证明的不等式 ?? 是面积与边的关系，可考虑把面?d1d2d32S?ABC积变成边的关系，由题意可把大的三角形变成三个小的三角形，而d1，d2，d3分别是三个小三角形的高，所以
1112S?ABC?2?(ad1?bd2?cd3)?ad1?bd2?cd3，
222则所证不等式变为：(abc??)(ad1?bd2?cd3)?(a?b?c)2，这形式和Cauchy不等d1d2d3式相似，可考虑用Cauchy不等式去证明．
证明 因为2S?ABC?ad1?bd2?cd3，则所证不等式变为
(abc??)(ad1?bd2?cd3)?(a?b?c)2 d1d2d3nnn2由Cauchy不等式：?ai?bi?(?aibi)，取a1?i?1i?1i?1111,a2?,a3?；b1?ad1， d1d2d3b2?bd2,b3?cd3，则
(abcabc??)(ad1?bd2?cd3)?(?ad1??bd2??cd3)2?(a?b?c)2． d1d2d3d1d2d3即知命题不等式成立．
在这个例题的证明过程中，虽然没有直接用到凸函数的知识，但在前面我们已经用凸函数的知识去证明了Cauchy不等式，所以在这里给出Cauchy不等式的一个应用，间
20