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引 言
对称性，是指整体各部分之间的相称或对应,很久以来，对称性是人们在改变自然和认识自然过程中所产生的一种观念，在自然界物质世界的运动演化过程中，显示出各式各样的对称性[1]。在基础物理问题中，存在着广泛的对称性，如抛体运动的上升过程与下降过程的对称；地球自转与公转带来的白天、黑夜与一年四季的变化的对称；力学定律具有伽利略变换不变性的对称；晶体的点阵结构的对称；平面镜成像中物与像的对称；网络里电压和电流、阻抗和导纳的对称；正反粒子、波动性和粒子性的对称；信息论中信息输入与输出、狭义相对论中空间和时间的对称；电磁理论中电和磁的对称；描述电子在库仑场中运动的球函数等都体现了很高的对称性。此外，许多物理公式和图像都具有优美直观的对称性，如：基尔霍夫的电流方程组，用完美的对称、简洁的形式，奠定了电路网络的基础。哈密顿正则方程组也有很高的对称性，而麦克斯韦电磁方程组更显示了完美的对称——电场和磁场、时间和空间的对称性。
其次物理学中还存在着繁多的守恒定律，无论是一般的还是局部的守恒定律，都表示了自然过程的基本性质和关系的一种稳定性、相对的不变性，而守恒常常离不开对称，因为根据诺特定理：每一种对称性均对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然旧o。运动定律的空间平移、时间平移、空间旋转的对称性分别对应着动量守恒、能量守恒、角动量守恒。而空间反演和电荷规范的对称性对应着宇称守恒定律和电荷守恒定律等。著名的数学物理学家韦尔认为：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。”在各种物理问题的解决过程中，人们经常自觉或不自觉地使用对称性，在这些问题中，如果离开对称性，则有些求解是较为复杂的，而利用对称性来求解，就可以使复杂问题简单化。在现代物理学中，对称性更是研究现代物理前沿问题的一把钥匙，特别是在微观物理领域中，对称性已经成为研究物理问题的一种强有力的手段。
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第一章 物理学中对称性的简介
1.1物理学中对称性的概念
对称性实质是某种变化下的不变性，即通过某种变换不变，我们就说它具有某种对称性。对称性在物理学中占有十分重要的地位，并已成为认识物体形体构造及其相互作用规律的基础。例如：各向同性的固体导致它只存在两个弹性常数：物理规律在洛兰兹变换下具有不变性等等。
物理学的理论是建筑在时空对称性基础上的，即时间是均匀的，空间是各向同性的。这种时空对称性体现为：处于完全相同状态的空间各点。其物理状态和性质是相同的。对称性和守恒定律密切相关。早在1842年．Jacobi指出，体系具有空间坐标平移对称性时，其动量矩守恒：1897年，Schiliz 发现体系的时间平移不变性导致机械能守恒．这正是时空对称性与守恒定律的关系。
对称性概念通过1925年前后量子力学的革命。逐步演变成物理学的主流。人们在微观领域中找到了许多新的对称性和与其对应的守恒定律，如宇称、同位旋、CPT、SU(3)以及其它一些规范变换不变性等。对称性原理已成为人们探索微观世界运动规律的基本原理之一。对称性原理的巨大作用只需举两个例子就能说明：周期表的总结构，本质上是库仑定律各向同性的结果；反粒子(正电子、反质子、反中子等)的存在是根据洛伦兹变换的对称性从理论上预言的。除了时空对称性外，还有所谓内部对称性(变换中的时空坐标未改变)，重要的内部对称性有规范对称性。规范场(杨一密尔斯场)理论的发展，定域规范不变的要求自动地解决了自然界基本相互作用的形式，即自然界的所有基本力只有下列四种：电磁力、弱相互作用力、强相互作用力和引力，这四种力的基本方程都是由规范对称这个原则来支配的。
对称性也常常被称为不变性。关于变换的不变性分为六大类：(1)时空变换，这包括空间平移、空间转动、时间平移、时空联合变换(即洛伦兹变换)的不变性。(2)分立对称变换，即时间反演、空间反演和正反粒子变换，后者表现了正反粒子的对
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称性。(3)重子数、轻子数、代轻子数、电荷、同位旋这五个守恒定律k(4)全同粒子对称性和粒子反应中的交叉对称性。(5)规范变换不变性。(6)标度变换不变性，即白相似性。
1.2 对称性和物理学的发展
对称性思想最早产生于古希腊科学美学家毕达哥拉斯（ 约前571年———前497年）的思想中。 毕达哥拉斯认为在所有的几何图形中，圆和球是最完美的图形，而匀速圆周运动则是最完美的运动。这种认识起源于对天体的观察。毕达哥拉斯从月面明暗交界处所显露出的圆弧形，认识到月亮是球形的；从月食现象中观察到地球投射在月亮上的影子推断地球也是球形的；由此他断言所有的天体都是球形的。 亚里士多德和他的老师柏拉图对此持有相同的认识，他们同样坚持大地是球形的主张。球形是最具对称性的立体图形，是唯一能在自身所占据的空间范围内作任何方向旋转而不变的图形。而这种高度对称性的图形是世界上最美的。 因此上帝理应是按照美的原则创造世界。这种认识在科学发展过程中是一次重大的飞跃。它实际在思想上突破了绝对上下和高低的观念，为后来牛顿的万有引力理论的提出作了思想准备。 同时古希腊人还发现了五种规则立体图形。它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体、正十二面体: 他们认为这种对称性几何图形分别代表着火、土、气、水和以太5种元素，并企图运用这5种几何图形来解释天体的结构。
总之，高度对称性一直深受古希腊的科学哲学家们的青睐。 特别在天文学研究中圆形及其在圆形轨道上的匀速运动几乎成了开普勒之前，欧洲天文学家研究天文学的最基本的原理。 无论是欧多克斯（前409———前356年）的天球层模型，还是托勒密的“地心说”结构，乃至后来的哥白尼的“ 日心说”理论均以此为出发点。就连后来由于发现了开普勒三定律而被人们尊称为“天空立法者”的开普勒，最初仍是怀着这种对对称性形式的狂热迷恋，去建立一种基于5种规则立体图形的行星轨道之直径比的理论。虽然结果以失败而告终，但他最终建立开普勒三定律仍然深受这种认识的启发。
伽利略是和开普勒处于同时代的一位伟大的物理学家。就在开普勒建立天体运行理论的过程中，伽利略同时在批判亚里士多德错误理论的基础上，构建地面宏观物体运动的理论。他确立了科学的自由落体定律、惯性定律与相对性原理，指出力是产
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生加速度的原因，为经典力学奠定了坚实的基础。其中的相对性原理指出，在静止与匀速直线运动状态中力学定律是相同的，揭示出了力学中静止状态与匀速直线运动状态的等价性。而这种等价性就是一种不变性，也就是物理学当中的对称性。伽利略的理论是构成牛顿力学的主要基石之一。牛顿力学当中的许多守恒定律，后来发现均是由对称性推出来的结果!如空间位移下的物理定律的不变性的结果是动量守恒；空间旋转下的不变性的结果是角动量守恒??。
1.3 对称性在物理学发展中的运用
在物理学发展的道路上，对称性的身影随处可见。首先一起来看看宏观世界中的对称性。如电动力学中静电力、静磁力的平方反比定律公式的发现，就是追求与万有引力平方成反比定律相“对称”而得到的。惠更斯对发生一维碰撞、质量相等的球以弹性碰撞前后速度变换的普遍结论也是利用对称性原理来推论的。在他考虑对心碰撞时，系统具有围绕球心连线的轴对称性和相对于质心C的点对称性。根据这些对称性的考虑，利用抽象对称法的推断得出两小球碰撞后的速度v1、v2应仍在此连线上，且有 v1=一 v2，这就推导出动量守恒的结论；在研究保守系与时间反演不变性关系时，就是从对称性原理出发，通过形象对称法和数学对称法阐明了保守系的运动规律具有时间反演不变性，即在保守系里运动过程是可逆的。而根据对称关系，推导出非保守系不具有时间反演不变性，耗散过程是不可逆的；法拉第根据电流的磁效应预言了磁也能产生电这一对称现象的存在；麦克斯韦从场的观点对法拉第电磁感应现象进一步思考，产生感应电流时，一定是有了促使导体中自由电荷做定向运动的电场。因此，他认为:这个现象的实质是变化的磁场在空间产生了电场。既然变化的磁场能够在空间产生电场，那么，变化的电场能不能产生磁场?麦克斯韦确信自然界规律的统一与和谐，相信电场和磁场具有对称之美。他大胆地提出假设：变化的电场也相当于一种电流，也在空间产生磁场，即变化的电场在空间产生磁场。宣告了完整电磁场理论的建立。
再一起领略微观世界中的对称性。例如电磁学中很多定律就是利用电磁现象与力学现象的内在对称性而得出的。狄拉克曾以对单纯的数学形式的对称美的追求，在没有实验证据支持的条件下，大胆地提出了反物质假说，即正电子学说。这在当
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时曾被很多人认为是一种没有事实根据的玄想。但是狄拉克坚信自己的科学美学思想，独特地提出并坚持正电子学说．狄拉克从正能态的电子提出负能态的反粒子～ 正电子概念更是应用对称性方法的一个光辉典范。物理学史上对这一事件有详细记载．1928年1月，狄拉克在研究粒子的相对论性量子理论时，取得了重大突破，得到了新的电子波动方程一狄拉克方程：(P。一a 1P1 一a2P2一a3P3一a4 m c)ψ =0，式中P1、P2、P3为动量的三个分量。它对于动量和能量的相对论性四矢的4个分量是线性的。这个方程在数学上不仅简洁，而且优美，也能统一解释许多量子力学的实验事实。但该方程描述电子内部运动的矩阵有四列四行，而描述被观察电子的两个自旋态的矩阵只要两列两行，即方程给出的态比描述实验情况所需的态多了1倍。狄拉克接着通过研究又发现，有半的态与电子的负能态有关，因此，当时他面临抉择：是把不可观测的负能态排除出去呢?还是接受负能态，以保持方程的完美性呢?坚持对称美的狄拉克大胆的选择了后者。通过进一步的研究，他又发现占据负能态的空穴可看成是带正电荷的正能粒子。但当时知道的带正电荷的粒子只有质子，质子质量又为电子质量的1840倍，然而理论揭示正能与负能之间完全对称，这种粒子(空穴)质量应与电子质量相同。究竟是这种对称理论本身存在问题? 还是预示一种新的粒子存在，以保持这种正能、负能之间的完全对称? 对追求科学美和对称性毫不动摇的狄拉克又勇敢地选择了后者，并于1931年5月正式宣称，带正电的空穴，其质量与电子相同，电荷则与之相反，它就是电子的反粒子一正电子。1932年美国物理学家安德逊在宇宙射线中发现了正电子，使狄拉克的理论从数学形式的美终于变成了物质世界的真。狄拉克还从对称思想出发，发展了薛定谔的波函数理论。在迅速掌握了薛定谔使用的本征值矢技巧以后，狄拉克运用娴熟的数学技巧处理波函数．他用对称波函数描述玻色子服从玻色一爱因斯坦统计法则；用反对称波函数描述费米子服从费米一狄拉克统计法则。这样，狄拉克循着对称的思路，发现了微观粒子的统计类型与波函对称性质问的内在联系。
随着科学的发展，表述对称理论的主要数学工具—— 群表示论也已成了近代数学中的一个重要分支。1890年著名俄国结晶学家及几何学家费得洛夫用群论方法解决了结晶学的基本任务之即规则的空间点系的分类问题。晶体的对称是多种多样的，总共有多少种呢?在此以前无人知晓，经用群论推算，总共有230种．具有对称性的晶体就是经过某些对称操作后能完全回复原状的晶体。晶体的对称操作有旋转、反
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