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映、象转、倒反、旋转倒反5种，其中前两种是基本的，后3种可以由前两种联合运用而得到．旋转所依赖的轴，称为旋转轴或对称轴，反映所依赖的面叫镜面或对称面。倒反所依赖的点叫对称中心。旋转指的是一个晶体如绕某一轴旋转360°／n，l(n=1，2，3，4，6)后能回复原状，则我们称此晶体具有咒次对称轴，如立方晶体具有4个3次对称轴。反映指的是一个晶体如沿通过其中心的某一平面进行反映后所得晶体和原来的完全一样，即该平面的一方为另一方的像，则此晶体具有镜面即具有反映面对称。可以证明，有32种不同的晶体宏观对称操作，它们构成了所谓晶体点群。全面分析晶体结构的对称性，还必须考虑平移．用来概括晶体结构全部对称操作(转动加平移)所构成的群，叫空间群。在理论上，可严格证明空间群有230种，即所有晶体结构就其对称性而言共有230种类型。由此，人们对结晶对称有了更全面、深刻的认识。数学对称理论反映了自然界形形色色的对称规律。
内在对称性指的是自然规律内在质的对称，它反映了理论内在的和谐与统一程度。爱因斯坦在创立相对论的过程中，就认为自然科学的理论不仅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的对称性，而且要求理论本身具有内在对称性。实际上，由于对称性意味着不变性，进一步发展为意味着经过某种对称变换后物理规律的不变性，这就意味着守恒．常常一种对称性意味着对应一个守恒定律，因此，早在1842年，雅可比就指出，对于个能够用拉氏量L来描述的体系，L在体系平移下的不变性将导致动量守恒；在空间转动下的不变性将导致角动量守恒。在粒子物理中，利用对称理论与方法，把粒子按多重态分类，导致新粒子的发现，引进了夸克。
德布罗意运用对称添补法，预言了物质波的存在；爱因斯坦运用对称平衡法创立了狭义相对论；洛伦兹变换的不变性导致了统计力学和量子力学，也是运用数学对称法的结果。从以上事例可看出，物理学史上对称性在物理学中的应用可以说数不胜数。在近代粒子物理理论中，对称理论与方法居于主导地位，粒子物理中一些最新的进展，如粒子分类、弱电统一理论、超对称理论、对称破缺和质量起源等都是考虑到对称性，运用描述对称性的工具一群论来进行的。对称性在现代物理理论中被作为第一性原理来运用。
第二章 物理学中电磁学的对称性
IX
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2.1高斯定理和对称性的分析
求如图2所示半径为R，电荷线密度为λ的无限长均匀带电圆柱面在柱内外产生的电场强度。
解：因电荷柱对称，电场柱对称： E沿径向，且距轴线r相等处E大小相等。
过场点作与带电柱面同轴的柱形高斯面S，(见图1)
图1
其高为h，于是有：
∮LΕ?d S=(∫上底+∫下底+∫侧面)Ε?d S
=O+0+2πr h E=∑qi n t /ε0
当r ∑qi n t=0 E=0 当r>R ∑qi n t=λh E=λ/(2πε0 r) X 滨州学院本科毕业设计（论文） 方向垂直轴线，沿径向 2.2安培环路定理与对称性的分析 求如图3所示总匝数为Ⅳ，电流为，的密绕圆螺绕环的磁场分布 解：因是载流密绕螺绕环，磁场轴对称。距轴线等r处磁场大小相等，方向沿切线。 作同轴圆形环路L(见图2)，根据安培环路定理有: 图2 ∮LΒ?d L=μ0ΣIi n t 2πr B=μ0ΣIi n t L环在管内ΣIi n t=NI 环管内磁场B=μ0NI／(2πr) L环在管内ΣIi n t=0 环管外磁场B=0 有时，用高斯定理或安培环路定理时也可能遇到电荷、电流体系对称性“残缺”的情况，对这一类问题我们完全可以用“补偿法来”操作，这样仍可归结到对称性问 XI 滨州学院本科毕业设计（论文） 题的求解当中，有关这方面的解法，在电磁学中有典型的应用，于此不一一阐述。 2.3麦克斯韦方程组的对称性的分析 在电磁学中，由亥姆霍兹定理易知，场源的分布确定场的分布，而场的性质是由场的通量、环流即高斯定理、安培环路定理描述，源的性质由源的散度、旋度描述，场矢量由场源唯一确定。根据对称性原理，当场源具有某种对称性时，场的分布也具有相同的对称性。麦克斯韦方程组是电磁学的核心和灵魂，其所概括的电磁学基本规律，也必具有对称性。下面，将电磁学中电场与磁场的基本性质及电场与磁场的相互关系作一个系统的总结，从而对麦克斯韦方程组的对称性有一个更为直观的r解和掌握，更好地理解对称性原理在电磁学中的应用。 从上面的揽要可见，麦克斯韦方程组高度地概况了电场、磁场的基本性质，以及电场和磁场之间相互激励的普遍规律，方程组简洁、优美，具有融洽的对称性。如果能引入“磁荷”作为激励磁场的源，则对称性得到了完美的体现。关于“磁荷”的概念，读者可参阅相关文献。 2.4镜像对称性特例 例1 如图1所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放有带电量为一q的点电何。 （1）试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度； （2）试求感应电荷在导体外P 点产生的电场强度(P与P 点对导体板右表面是对称的)； （3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； （4）试求导体上的感应电荷对点电荷一q的作用力； （5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡(略去边缘效应)。 图3 XII 滨州学院本科毕业设计（论文） 图3 解析 在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”，并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化。 （1）导体板静电平衡后有 E感=E点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强为Ep=k q/r2，其中r为AP间距离，方向沿AP，如图4所示。 图4 （2）因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P点和Pˊ 点的电场具有对称性，因此有EPˊ = k q/r2，方向如图4所示。 （3）考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 和Pˊ 。如前述分析，在导体外P1 ˊ，点感应电荷产生的场强大小为E i Pi ˊ= k q/r 。点电荷q在该点产生的场强大小也是Eq Pˊ1 = k q/r2 。 它们的方向如图5所示。 XIII 2