3.1.1-2变化率问题与导数的概念
（1）三维目标
1、知识与技能：
①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。
2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。 （4）教学建议：
1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。
2、对于导数定义：在定义f?x0?=lim'f(x0??x)?f(x0)?f给出后，可以?lim?x?0?x?x?0?x?x?0给出定义的几种变化形式：f'?x?=lim?y?lim?x?0?xf(x0)?f(x0??x)；以及
?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?lim；或f?x?=lim；而
x?x0(?x)x?x0??x?0x?x0??xf(x)?f(x0)?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim。通过比较理解实
?x?0x?x0f'?x?=lim质。另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。 教学过程
一．新课讲授 （一）问题提出
问题1气球膨胀率问题：
老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V 4?分析: r(V)?3
3V， 4?
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率为
r(1)?r(0)?0.62(dm/L)
1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)?0.16(dm/L)
2?1h 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V2)?r(V1)
V2?V1问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
ot 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时
间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v
h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；
0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)
2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49在0?t?0.5这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内是静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(2
65)?h(0)， 4965)?h(0)?0(s/m)， 所以v?4965?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运
49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；
（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
（二）平均变化率概念:
引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.
f(x2)?f(x1)x2?x11．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均
变化率
2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用
x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))
3． 则平均变化率为
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?xy y=f(x) 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率
f(x2)?f(x1)?f表示什么? ?x2?x1?x（1） 师生一起讨论、分析，得出结果；
（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均
f(x2) f(x2)?f(x1)?f变化率. ??xx2?x1注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②
x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；
二．典例分析
2△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x 例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点
B(?1??x,?2??y),则
?y? ． ?x解：?2??y??(?1??x)2?(?1??x)，
?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x例2． 求y?x2在x?x0附近的平均变化率。
?y(x0??x)2?x0解：?y?(x0??x)?x0，所以 ??x?x222x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x
?x22
所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x 三．课堂练习
1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3
3.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 四．回顾总结
让学生进行课堂小结.
（1） 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；
（2） 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态； （3） 函数的平均变化率的概念 ； （4） 求函数的平均变化率的步骤；
（5） 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？
（6） 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念． 五．补充实例
例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃ 2
2观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
温度T (℃) C (34, 33.4) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 30 34 时间t（d）
六．布置作业
①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什
B (32, 18.6)
么量？③做书A1；④预习下节内容. 七．教学反思
用1节课完成变化率的讲授。导数确实是个很重要的工具，所以与导数概念教学有关的平均变化率问题讲授显得很重要. 板书设计 、 一、平均变化率： 3.典例分析 课堂练习 作业 例1? 例2? 小结