导数的几何意义
（1）三维目标
1、知识与技能：（1）使学生掌握函数f(x)在x?x0处的导数f/?x0?的几何意义就
是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率。（数形结合），即：
f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)＝切线的斜率
?x(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2、过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3、情感态度与价值观：通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值。 （2）教学重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 （3）教学难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】
（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：
导数f/(x0)的本质是函数f(x)在x?x0处的瞬．时．变．化．率．，即：
f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)
?x（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）
师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？
（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。
师：那必然就要回忆求导数f/(x0)的步骤了。 生（齐）：分三步： 第一步：求?y 第二步：求平均变化率
?y； ?x第三步：当?x趋近于0时，平均变化率
f(x0??x)?f(x0)无限趋近于的常数就是
?x
（回归本质，数形结合） f/(x0)。
教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意
义，类比地，也可以分三个步骤：
师：第一步：?y的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出） 生：当x0??x与x0所对应的函数值的差量。
师：很好，那么第二步：平均变化率
f(x0??x)?f(x0)的几何意义是什么？
?x（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。
生2：平均变化率
f(x0??x)?f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。其中
?xA(x0,f(x0)),B(x0??x,f(x0??x))。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）
师：第二步：?x?0时，割线AB有什么变化？请用你的笔描绘出来。
（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在x0??x与x0之间。）
教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：?x?0，B(x0??x,f(x0??x))?A(x0,f(x0)),
师（趁胜追击）：很好，那么当?x?0，于是A，B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近A，最后会---------
生(齐):重合。
师：那么直线AB？ 生（齐）：变成一条切线了。
师：大家真不错，确实，当?x?0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x?x0处的切线，下面请把它画出来。
等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。 结论：（形）?x?0，割线AB?切线AD，
则割线AB的斜率?切线AD的斜率。（口述） 由数形结合，得 f/?x0???limx?0f?x0??x??f(x0)＝切线AD的斜率。（板书）
?x/所以，函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的
切线AD的斜率。（数形结合）。
（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）
（二）深入研究，知识拓展
师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。
生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。 （展示如下动画，A点----直线l1----B----直线l2）。 学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。
yl1Al2BxC 师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线
l1虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲
线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 （三）“以直代曲”思想
利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。
学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某
点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）
（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。） （四）例题讲解，加强理解
例1 在函数h(t)??4.9t?6.5t?10的图像上，用图形来体现导数h(1)??3.3，
2/h/(0.5)?1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。
变式：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？ (如下图)
（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 从中小结出:1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负; ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点附近的陡峭程度。（板书） ．．．．．．．．．
h
O t3 t4 t0 t1t2 t 例2 如图表示人体血管中的药物浓度c?f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)
t 药物浓度的 瞬时变化率 0.2 0.4 0.6 0.8 （注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） （五）抽象概括，归纳小结 （先由学生小结）
1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念： f//?x0?是确定的数（静态），f?x?是x的函数（动态）
由f/?x0???limx?0/f?x0??x??f(x0)（特殊——一般）
?x?x ff?x??x??f(x)（静态——动态） ?x???limx?0（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2．归纳小结：
由学生进行开放式小结：
（1）函数f(x)在x?x0处的导数f/?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在
x?x0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：
f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)＝切线AD的斜率
?xf?x??x??f(x) ?x???limx?0?x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。 （3）导函数（简称“导数”）的概念。f（六）作业布置 1．习题P80.A5,6;B1
2．（给好的学生）请给出求函数y?f(x)在x?x0处的切线方程的一个算法，并小组自编
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