函数的极值与导数
一、教学目标 1 知识与技能
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值
难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系
提出问题，激发求知欲
组织学生自主探索，获得函数的极值定义
通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解
四、教学过程
〈一〉、创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提高学生回答）
2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数
h(t)=-4.9t+6.5t+10的图象，回答以
2
下问题
（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h?t?在t=a处的导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数h?t?单调递增, h'?t?＞0;当t＞a时,函数h?t?单调递减, h'?t?＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, h'?t?先正后负,且h'?t?连续变化,于是h/(a)=0.
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨
1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
oath
（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？
充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：
（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
（2）极大值一定大于极小值吗？ 5、随堂练习:
1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出
哪些是极大值点,哪些是
极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f'?x?的图象?
<三>、讲解例题
例4 求函数f?x??x3?4x?4的极值
教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导
解:∵f?x??x3?4x?4∴f'?x?=x2-4=(x-2)(x+2) 令f'?x?=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论:
(1)当f'?x?＞0,即x＞2,或x＜-2时; (2) 当f'?x?＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, f'?x?,f(x)的变化情况如下表: x f'?x? 1313x(-∞,-2) + 单调递增 -2 0 28 3(-2,2) _ 单调递减 2 0 4? 3(2,+∞) + 单调递增 f(x) 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 小值,且极小值为f(2)= ?
28;当x=2时,f(x)有极 3431f?x??x3?4x?43
函数f?x??x3?4x?4的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
2131求f'?x?,解方程f'?x?=0,当f'?x?=0时:
?2(1) 如果在x0附近的左边f'?x?＞0,右边f'?x?＜0,那么f(x0)是极大值. (2) 如果在x0附近的左边f'?x?＜0,右边f'?x?＞0,那么f(x0)是极小值 <四>、课堂练习
1、求函数f(x)=3x-x3的极值
2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f（x）的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题：
1、 若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范
围。
2、 已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。 <六>、课堂小结: 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤
3、 一个点为函数的极值点的充要条件。 <七>、作业 P32 5 ① ④
教学反思:
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