习 题
8．1利用4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅 ?1xx??1yy? t(x1,y1)??rect(1)?comb(1)???rect(1)?comb(1)?
a1b1??b2a2b2??b1 其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得
到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤
波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
（a） （b） （c） （d） 图8.53（题8.1 图）
解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )]
1b1 = { 将函数展开得 T ( fx , fy ) =
a1b1? [rect(x1a1)]·? [comb(x1b1)] } ?{
1b2? [rect(y1a2)·? [comb(y1b2)]}
{sinc(a1fx)+sinc(a1b1a2b2)δ(fx-1b11)+sinc(a1b1a2b2)δ(fx+1b11b2)+???}
?
a2b2{sinc(a2fy)+sinc()δ(fy-b2)+sinc()δ(fy+)+???}
（1）用滤波器（b）时，其透过率函数可写为
1 fx = + 1/ b1 fy = 0
F ( fx , fy ) = 0 fx ? 1/ b1 fy = 任何值 滤波后的光振幅函数为 T·F =
a1b1sinc(a1b1)[δ(fx-1b1)+δ(fx+1b1)]
输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? -1[ T·F ]
a1b1a1b12?x3b1)]+exp[-j(2?x3b1)]}
= sinc(){exp[j( =
2a1b1sinc(a1b1)?cos(2?x3b1)
输出强度分布为 I（x3，y3）=
4a1b1222sinc(2a1b1)?cos(22?x3b1)
=
2a1b12sinc2(a1b1)?cos(4?x3b1) - C
其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。 （2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为
1 fx ，fy ? 0
F ( fx , fy ) = 0 fx = fy = 0 滤波后的光振幅函数为 T·F =
a1b1a2b2{sinc(a1b1a2b2)?(fx-1b11b2)+sinc(a1b1)?(fx+1b1)+???}
?
{sinc()?(fy-)+sinc(a2b2)?(fy+1b2)+???}
输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? -1[ T·F ]
1b1 = {
[rect(x3a1)?comb(x3b1)] -
a1b1rect(x3b1)}
× {
1b2[rect(y3a2)?comb(y3b2)] -
a2b2rect(y3b2)}
输出强度分布为
I（x3，y3）= ? t’（x3，y3）?2
有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。
（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b’，它与物光栅周期b1、b2的关系为
=b’11b12+1b22
8．2 采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。
解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应
表达为
t’（x3）= ? -1 { sinc(a1b1a1b1)[?(fx-2b1)+?(fx+2b1)]}
=
2a1b1sinc()cos4?x3b1
其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布： I =
4a1b122sinc22(a1b1()cos24?x3b18?x3b1
=
2a1b12sinc2a1b1)cos - C
其中C是一个常数。
答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。
8．3 在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最
大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响， （a）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；
（b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式； （c）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式； （d）若将一个π位相滤波器 exp（jπ） x2，y2 ≤ x0，y0
H（x2，y2）=
0 其它
放在P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。
解答：将8．1题结果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去与y分量有关的项，可得
（a）P2平面上的频谱分布为：
T(fx)=14{sinc(fx)+sinc(14)?(fx-14)+sinc(14)?(fx+14)+???}
（b）输出平面：
复振幅 t（x3）= ? [T（fx）]
若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即 t (x3) =
14[rect(x3)?comb(2
-1
x34)]
x34)]
2光强分布 I (x3) = | t (x3)| =
116[rect(x3) ?comb((c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x3) =
14[rect(x3)?comb(x34)]-14rect(x34)
I = | t (x3) | 2
由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为 a’= 3，见下图
t（x3） I（x3）
0 x3 ··· ··· ··· ··· 0 x3
（d）将一个?位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 exp（j ?） f x = f y = 0 H（f x，f y）=
1 f x，f y ? 0 只考虑一维情况，频谱变为 T’（f x）= T（f x）·H（f x）
= =
1414{sinc(fx)exp(j?)+sinc(1414)?(fx-1414)+sinc(1414)?(fx+1414)+???}
{-sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???}
输出平面上的复振幅为
t (x3) = ? [T（f x）·H（f x）] = -14rect(x3)+14[rect(x3)?comb(x34)] -
14rect(x34)
-1
8．4 图8-54所示的滤波器函数可表示为：
1 fx＞0 H（ff ，fy）= 0 fx＝0
-1 fx＜0 此滤波器称为希尔伯特滤波器。
证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。
y L1 fy L2
x fx
x'
y'
图8.54（题8.4 图）
解答：位相物可表达为
t0（x1，y1）= A·exp [ j ?（x1，y1）] 对于弱位相物有? ? 1弧度，上式近似为（忽略A）
t0（x1，y1）? 1+ j ?（x1，y1）
滤波平面得到
T（fx，fy）= ? [t0（x1，y1）]
=?（fx，fy）+ j?（fx，fy）
其中 ?（fx，fy）= ? [?（x1，y1）]。 经希尔伯特滤波器，频谱面后的光
分布为T’（fx，fy）= T（fx，fy）·H（ff ，fy）
j?（fx，fy） fx ? 0
= 0 fx ? 0 - j?（fx，fy） fx ? 0
像平面光场复振幅为 （以下无把握） t’（x3，y3）= ? -1[T’（fx，fy）]
j?（-x3，-y3） x3 ? 0
= 0 x3? 0 - j?（-x3，-y3） x3? 0
光强分布为 I = t’· t’?
-? 2（-x3，-y3） x3 ? 0 = 0 x3? 0
?（-x3，-y3） x3? 0
（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）
8．5 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比
较均匀的照明光场，试说明其原理。
针孔 L 激光器
图8.55（题8.5 图）
8．6 光栅的复振幅透过率为
t（x）= cos 2πf0 x
把它放在4f 系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2位相板，求像面的强度分布。
解答：将复振幅透过率函数变换为
t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其频谱为
T（fx）= ? [t（x）] = =
1212 2
?（fx）+ ?（fx）+
121? [cos 2πf0 x] ?（fx- f0）+
144?（fx+ f0）
其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/ 2位相板放在+1