?r??30?,?c?135?,?i?180?
以λ0=442.0nm和λ=444.4nm、526.3nm、645.2代入上式，得到
sin?B??0.203,?B??11.73?
sin?G??0.094,?G??5.38?
sin?R?0.016,?R?0.89?
以l=-30cm计算，得到
xB?ltan?B?6.23cm
xG?ltan?G?2.82cm
xR?ltan?R??0.47cm
由于狭缝有一定宽度而引起的带宽可对光栅方程微分得到，即 ??o??0sin?i?sin?c?2cos?o??。
由此可得到狭缝宽度
wB?0.97cm
wG?0.34cm
wR?0.22cm
9-5. 采用图示的双狭缝彩虹全息记录光路，可以在同一张底片上记录两个物体的彩虹全息图，记录的方法步骤是：第一步，用挡板挡住S2，用S1对物体O1曝光；第二步，用挡板挡住S1，用S2对物体O2曝光。然后将显影的全息图用白光照明，人眼在不同位置即可看到不同物体的再现象。
图 习题9-5 答：（1）以R的共轭光再现全息图，在原狭缝处得到实狭缝，此时在实狭缝处观察，观察
O S1 S2 （1）画出再现狭缝实象的示意图，说明再现象的特点。
（2）解释多狭缝彩虹全息图作多目标存储和假彩色编码的原理。
L R O? 到的是赝象，即凹凸与原记录物体相反的象。
（2）记录多目标时，在透镜处放置多个狭缝，分别对应于不同的物体进行全息记录，再现时用单色光，眼睛位于不同的狭缝处，将能见到不同的物体。进行假彩色编码时，将待编码的物体分别置于透镜的物面，在透镜处分别遮挡不同的狭缝，记录在同一张全息图上，再现时用白光再现，不同编码图象按不同颜色重叠在一起，结果形成假彩色图象。
9-6. 有人提出用蓝色单色激光以反射全息的方式也可以记录二维彩色照片，方法是：将三张分色片分别置于记录介质一侧，并用散射屏照明，在记录介质另一侧分别用三个不同角度的参考光入射，在同一记录介质上记录三张分色片，当白光以某一角度再现全息图时，三分色片将分别被三原色再现，呈现彩色图象。试说明其原理，并作相应的三参考光入射角设计计算。（提示：用三棱镜与记录介质用匹配液匹配的方法可以增加参考光入射角；用布喇格条件和光栅方程进行设计，参考第5章和第7章体全息部分）。
答：反射体全息有很好的波长选择性，利用布喇格条件，可以按所要求的衍射方向和衍射波长推算出两束相干记录光束的入射角，这也就是本习题提出的记录彩色二维图片的原理。体全息中记录光与再现光之间的布喇格条件关系是
cos?o?1sin?o?1?cos?r?1sin?r?1?cos?c?2sin?c?2?cos?i?2?0
???sin?i?2?0
式中角度量θ的下标o、r、c、i分别表示记录时的物光、参考光和再现时的再现光、衍射光，它们均是介质内的量，λ1和λ2分别表示记录光和满足布喇格条件的再现光波长。按题意，θc、θi和λ2均由使用条件决定，利用上式求出θo和θr，从上式可以求出
?o??i??c2?i??c2?sin?1??1?i??c?sin??2?2??1?i??c?sin??2?2?? ????。 ???r??sin?1在本习题中，θc取207.7°（在记录介质中角度，空气中为225°），θI取0°，λ2则取三原色波长，利用上式可求出在记录介质内的物光和参考光入射角。如取三原色波长为450nm、530nm和630nm，得到参考光和物光入射角如下表 波长λ2(nm) 450 参考光入射角θr 物光入射角θo 202.75° 4.95° 530 226.83° -19.13° 630 238.96° -31.26° 显然，如果在参考光入射的一边不采取其他措施，530nm和630nm的介质内入射角是无法实现的。采用45°直角三棱镜匹配的光路如下图所示。
x 散射光照明
??r z 二维照片掩膜 记录干板 三棱镜
把上表的数据折算成空气中的入射角如下表所示（表中??r为在直角三棱镜斜边的入射角），如果物光由散射角非常大的散射屏照明，表中的物光散射角没有什么意义，因照明光中总有一部分物光满足表中的入射条件。实际上大散射角的照明会降低衍射效率，采用有一定散射角的散射屏更适合物光照明，散射的中心光线因满足下表中物光入射角。作全息记录时，在全息干板前分别换三原色掩膜，对应于它们的光路参数作三次曝光。在对全息干板进行后处理后，用白光以45°角入射，就能观察到彩色二维照片。
波长λ2(nm) 450 530 参考光入射角??r 物光入射角??o
35.14° 7.53° -2.78° -29.88° 630 -21.51° -52.07° 第十章 习题解答
10.1 试比较被动三维传感和主动三维传感系统的原理、系统结构、适用范围和优缺点。（思考题）
10.2 在三角测量法中通常采用的三种坐标系统如图10.6所示。试推导三种坐标关系中，物体的距离或高度z与测量变量△x之间的关系式，即三角测量法中的测量方程。
解答：
（1）投影光轴与成像光轴平行。所构成的物三角形和像三角形是相似的直角三角形, 测量方程是。
z?bh?x
式中：b是物三角形的基线，h是像三角形的高度，△x是像三角形的基线，z是物体的距离或高度。
（2）投影光轴和成像光轴相交。θ是投影光轴与成像光轴的夹角，O是两光轴交点并作为物体高度计量的原点，I和I′是成像系统的入瞳和出瞳，线阵探测器与成像光轴垂直，与I′点的距离为f;当物距l较大时，f近似地等于成像透镜的焦距。由图中所示的几何关系可以导出。
z?l?xsin??f?cos???x
(3) 投影光轴和成像光轴相交,探测器基线与成像光轴成一倾角β，当满足Scheimpflug条件，即满足关系 tg??k?tg? 时，待测距离z和可测变量△x之间的关系式为
(OI?f)sin???xfsin??cos?sin???xz?
10.3 为什么说激光散斑对三角法测量精度具有重要影响，试解释公式(10.16)和(10.17)的物理含义，并说明如何提高激光三角法测量精度。
解答：由于物体表面的微观起伏的不确定性，在探测器上的像点的散斑分布也是不确定的，这种不确定性引起的光点中心的定位误差，因此激光散斑对三角法测量精度具有重要影响。公式(10.16)和(10.17)表明，这种不确定性与透镜的数值孔径、激光的波长和散斑的对比度有关。通过增大透镜的数值孔径，减小波长C，降低散斑的对比度可以提高激光三角法测量精度。
10.4 在位相测量剖面术中，由于变形光栅像与传统的干涉条纹图相类似，因此变形光栅像有时又被称为“干涉图”。 在干涉计量中，光波长被作为度量微观起伏的尺度，而在位相测量剖面术中与投影条纹间距有关的“等效波长”被作为度量三维宏观面形的尺度。试比较这两种方法在物理概念上和条纹处理方法上的异同性。（思考题）
10.5 由于实际得到的位相数据是一个二维的采样点阵列，所以位相展开应针对二维进行。模仿一维位相函数的位相展开过程，推导二维截断位相函数φw(i,j) 展开过程的数学表达式.
解答：可以首先沿二维数据阵列中某一列进行位相展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行进行位相展开，得到连续分布的二维位相函数。例如首先沿二维数据阵列中第一列展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行展开。
φu(i,1)?φw(i,1)?2πnini?int??φw?i,1??φw?i?1,1??/2π?0.5??ni?1n0,1?0φu?i,j??φw?i,j??2πnj?φu?i,1?ni,0?0nj?INT??φw?i,j??φw?i,j?1?2π?0.5???nj?1
10.6采用远心光路的PMP系统如图10.22所示。设图中?=300 ，?’=00，在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周斯P0=5mm，求该系统的等效波长。如果系统对条纹位相的测量精度为2?/100, 求系统的测量精度。试讨论提高系统的测量精度的方法。
解答：等效波长 ?e?P0/tg?＝8.7mm,系统的测量精度为0.087mm. 减小等效波长?e可以提高系统的测量精度。
10.7 位相测量轮廓术和傅立叶变换轮廓术是基于三角测量原理，试比较调制度测量轮廓术与上面两种方法在原理上的区别，并比较三种方法的测量精度。（思考题） 10.8
飞行时间法(TOF)是基于直接测量激光或其他光源脉冲的飞行时间来确定物
体面形的方法。图10.43是采用位相检测技术的TOF系统框图，对时间的测量可以通过对调制光波的位相测量来实现。光束经9MHz的调制器调制后投射到物接收的信号经9MHz的滤波器后与基准信号比较，然后从位相变化计算出距离的变化。假定位相的测量精度为2?/100，求系统的测量精度。如果保持位相的测量精度不变，光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度是多少。
解答：系统的测量精度为0.33m。如果光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度提高到0.03m。
第十一章习题
11.1 试证明任意两个相互统计独立的随机变量之间相关系数为零。 答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P21。
证明 设UV为两相互统计独立的随机变量，由于其相互独立，UV的联合概率密度函数可为边缘概率密度函数的乘积：
pUV(u,v)?pU(u)?pV(v)