级谱上，其透过率表达为
H（fx）= exp（jπ） 则频谱面P2后的光振幅变为 T’= T·H
= =
1212?（fx）+ ?（fx）-
1414 ?（fx- f0）·exp（jπ）+ ?（fx- f0）+
1414?（fx+ f0）
?（fx+ f0）
像平面光场复振幅为
t’（x）= ? -1 [T’] =
12 -
1214exp（j2πf0x3）+
1214exp（-j2πf0x3）
= - j sin（2πf0x3）
像平面强度分布为
I = ? t’（x）?2 = t’（x）· t’（x）? = =
1414[1- j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] +
14 sin（2πf0x3）
2
像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，
并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。
8．7 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于
输入平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0 = l /λf，其中λ和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：
G(x2,y2)?1????j(2?fx?)??1?exp02?2?2??
???exp?j(2?fx?02?2? 试从数学上证明：
?)?? 1）在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减运算；
2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 8．8 如何实现图形O1和O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 解答：第一步，制作O1的傅里叶变换全息图，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R -b H f f 全息图H的透过率为 tH = | ?1 |2 + R02 + R0?1（fx，fy）exp_[ -j 2πfx b]
+R0?1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b]
其中?1= ? [O1]，R0为平面参考波的振幅，b为参考点源的横向位移量。 第二步，进行卷积运算。在4f系统中，将O2置于输入平面（x1，y1），全息图置于频谱平面（x2，y2），如图
x1,y1 x2,y2
L1 H L2 O1? O2 O2(x1,y1) O2几何像
O1? O2
f1 1 ' 2 fff ' 2x3,y3
频谱面后的光场为 UH'= ? [O2]·tH
= ?2·{| ?1 | + R0+ R0?1（fx，fy）exp_[ -j 2πfx b]
+R0?1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b]}
输出平面光场为
O2? ? -1[ tH]
= R02O2 + O1 ?O1? O2 + R0O1(x3-b，y3)?O2 + R0O1?(-x3-b，-y3)?O2
式中第三项即为O1 和O2的卷积运算，位置在x3 = b处。
8．9 在4f系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 ?g / ?x ，若输入图象g在x方向的宽度为l，光栅频率应如何选取？
解答：设复合光栅的空间频率为f0和f0+?，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重
像，两个正一级像的位相差等于π，它们离零级像的角间距?1、?2分别由下式确
定
sin ?1 = f0?， （1）
sin ?2 =（ f0 +?）? （2）
因而正一级像离零级像的线间距分别为
l1 = sin ?1·f （3） l2 = sin ?2·f （4）
其中f是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是
l1 - l2 ? l / 2 （l为物的宽度） （5）
将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到
l1 - l2 = ? ·? f ? l / 2
2
2
? ?
l2?f （6）
因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。
8．10 用4f系统通过匹配滤波器作特征识别，物g（x，y）的匹配滤波器为G*（fx，fy），
当物在输入平面上平移后可表示为g（x - a， y - b），求证此时输出平面上相关亮点的
位置坐标为xi = a，yi = b。
8．11 用一个单透镜系统对图象进行θ调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物Om
的光栅空间频率为100线/mm，物离透镜的距离为20cm，图象的几何宽度为6 × 6cm，
试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0—444.4nm）。
L 频谱面 O' 白光 Om d f 图8.56（题8.11图） 解答：
设：f0 = 100线/mm，d = 20cm，a×b = 6×6cm，?max= 650．0nm，?min= 444．4cm
求：透镜最小孔径 ?min
解：调制物Om的最大线度为
2l =（a2+b2） = 6√2cm
l = 3√2cm
欲在频谱面上进行成功的滤波操作，必须使所有物点的一级衍射波都能进入透 镜，最大衍射角θmax应与?max相应，即
sinθ由几何关系得到
max / f0 = max
1/2
? sinθmax = [（? / 2）- l ] / d 所以有
? = 2 [d·f0·?max + l ]
代入数据，得 ? = 110．85mm ? 111mm
答：透镜孔径至少应达到111mm，才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。
第九章习题解答
9-1. 用白光再现彩虹全息时，如果彩虹全息有实狭缝象，在狭缝实象处观察全息图，人眼将能观察到单色的全息象，试分析人眼在狭缝前后位置时的全息象的颜色分布情况。如彩虹全息再现的是虚狭缝，再分析人眼观察到的全息象情况。 答：
N B P M A 在图示的情况下，物的两个端点为A和B点，它们被全息记录在一条线区域上，当白光再现时，这一区域的衍射光是色散的，长波长的衍射角较大，而短波长的衍射较小，。按图示的光路结构， A点的长波长沿AM方向衍射，短波长沿AN方向衍射，B点的长波长沿BN方向衍射，短波长沿BM方向衍射。假设沿AP和BP方向衍射的波长相同，那么人眼在P处观察将看到单色象，当眼睛靠近全息图时，将看到象的上方偏蓝，而下方偏红，反之则相反。
对于虚狭缝的情况，如上图所示，P点是某一衍射波长的虚狭缝，A和B两点是两线全息图，象上的两点与它们对应，AM是线全息图A最短波长的衍射方向，BM是线全息图B的最长波长衍射方向。显然，眼睛在M点观察，将能看到A、B之间的所有象点，但它们的颜色呈光谱色分布，在图示情况下，上部是紫色，下部是红色。眼睛观察到的象的范围由眼睛离全息图的距离决定，离得越远，观察到的范围越大。
9-2. 用白光点光源再现彩虹全息时，人眼将能观察到由光谱色组成的单色象。如果用白光线光源作为再现光源，线光源的扩展方向与狭缝方向垂直，这时观察到的是消色差的黑白象，试解释其原因。 答：线光源可以看成由无数个点光源组成，每一个点光源都按光谱色排列形成一组彩色狭缝，线光源上不同点形成的狭缝的位置各不相同，它们在与狭缝垂直的方向上平移。这无数个狭缝相互迭合在一起，使人眼在该处观察时，无数个不同波长的再现象重合在一起，这也就形成了消色差的黑白象。
9-3. 在一步法彩虹全息记录光路中，物的大小为10cm，人双眼的瞳孔间距为6.5cm，透镜的孔径为20cm，对物体1：1成像，如狭缝距全息图30cm，要求人双眼能同时看见完整的象，试计算成像透镜的焦比。 解：
设透镜L对物1:1成象，由上图可见，只有人眼在POQ三角区域内才能观察到整个物体的象，显然狭缝应在使MN大于等于双眼间距处。设透镜孔径为D，焦距为f，物体AB大小为a，人眼瞳孔间距为d，狭缝距象的距离为L。由图中的几何关系可以得到
2f A D O′ B L O M d N Q P P A B Q M Q′ OO??AB?LAB?MN?aLa?d
D?a2f?aOO?
所以
Df?2a?dLDD?a
将D=20cm，a=10cm，d=6.5cm，L=30cm代入上式，得到D/f=2.2，这是一个很不切合实际的数据。实际上用一步彩虹全息是不可能获得大观察范围。
9-4. 在用横向面积分割法制作彩色彩虹全息母板的方法中，已知下列条件：三色光的中心波长分别为645.2nm、526.3nm和444.4nm；第一步记录时被记录物中心位于建在母全息图HM的坐标系的z轴，物体距HM30cm；第二步记录时参考光为平行光，入射角30?；白光再现时入射光是入射角为45?的平行光，三色再现狭缝位于z轴；设两次记录的波长均为442nm。试据以上条件，确定HM上H1、H2、和H3的位置。如果每个狭缝的光谱带宽为10nm，试确定狭缝宽度。 解：
x r SR SG SB HM l H H c O z O z x (a) (b)
图(a)和图(b)是本习题的记录和再现光路。在图(a)中设三个狭缝图象中心的入射角分别是θR、θG和θB，参考光入射角是θr，图(b)是共轭再现光路，再现光入射角是θc，图象中心三狭缝的不同色光的衍射光方向相同，设衍射角为θi。由光栅方程
sin?i?sin?c???0?sin?o?sin?r?，
得到共轭再现时的θo，
sin?o?sin?r??0??sin?i?sin?c?，
式中λ0和λ分别为记录波长和再现波长，θo的下标o分别对应于R、G和B。按题中条件及图(a)的坐标系，