因而U和V的相关函数为
?UV?????uvpUV(u,v)dudv
???uv
根据定义，U和V的协方差则为
??CUV??UV?uv?0
故相关系数?(??CUV/?U?V)为零。
11.2 若N个微小随机相幅矢量
?Nakej?k之和中每一个幅值
akN及相位?k都相互独立；
所有的ak具有相同的概率分布，数学期望与二阶矩分别为a和a?；随机位相?k均布于???,??区间内。试计算：（1）当N趋近于无穷大时这N个随机相幅矢量之和的实部和虚部的均值与方差及相关系数；（2）实部和虚部的联合概率密度函数并绘出复平面上等概率密度曲线图。如果随机位相?k均布于????????,???区间内计算结果及函数
图象有何变化？
答：参阅《统计光学》P42-45及《统计光学（基本概念个习题）》P30-34。
解：设和矢量为a（用复数表示），即
a?aej??1NN?ak?1kej?k
其实部与虚部分别为
r?Reae?j???1N1NN?ak?1Nkcos?k
i?Imae?j????ak?1ksin?k
根据N个微元矢量的相互独立性可得
r?1N1NN?ak?1Nkcos?k
i??ak?1ksin?k
对于均布与???cos?k?sin?k?????,?之中的Φk有 22?1cos?kd?k?2????/2/2?1?
????/2/2?sin?kd?k?0
所以
r?1NNa?2?2Na,i?0
??2为了要计算?2及?i，首先计算二阶矩r2及i2，
r2r?1N1NNNk??ak?1n?1NNancos?kcos?n
i2???ak?1n?1kansin?ksin?n
式中
??cos?kcos?n,cos?kcos?n??2cos?k,??4?,2?????
?/211??(1?cos2?k)d?k,???/2?2???4,当n?k???2???1,当n?k??2??sin?ksin?n,sin?ksin?n??2??sin?k,4?,2??? ???/211??(1?cos2?k)d?k,?????/2?2?0,当n?k???1?,当n?k?2因而
r2?a22?4?2(N?1)a,i22?a22
故有 ?2r?r2?r2?a22?4a2?,?2i?i?i22?a22
要计算相关函数，还需要计算实部与虚部之间相关函数，
ri?1NNNk??ak?1n?1ancos?kcos?n
其中
??cos?ksin?n,cos?ksin?n????cos?ksin?n,0,当n?k?? ??/21sin2?d?,当n?kkk????/22???0最后可得出
??ri?ri?r??0
i这说明实部与虚部之间仍是不相关的。
因为N是个很大的数，由中心极限定理知实部r与虚部i分别为高斯随机变量，即
????exp??????2???2Nr?a??????????? 22?a4a????2??2?2??????pR(r)?2?1a22?4a2?pI(i)???2?1i???exp??? 22a??a22???2??2因为r与i不相关，其联合概率密度函数仍为高斯型，可写作 pRI(r,i)2????2N???r?a???????1?exp???22228a??2aa4aa?(?)??2?22????2?????2?i? ??2??a?????图1.12为r与i的联合等概率密度曲线简图，若图中各椭圆之长短轴分别为an与bn，则有
an:bn?a:(a?228a2?)
图 pRI(r,i)的等概率密度曲线简图
11.3 若图11.3中光学成像系统的脉冲响应函数为h?x,y?，光瞳函数为P??,??，试证明全
息再现的变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式（11.27b）可以转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。
证明：变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式(11.27b)为 ???h(r?r)h?r?r?h(r?r)*0002?dr0?d2(r)dr0
该式右边分子是脉冲响应函数的自相关函数，根据自相关定理，可以表示成脉冲响应函数的傅氏变换的模平方的傅氏反变换，即
?h(r?r0)hr?r0?d2(r)dr0???P(ξ,η)exp*?????π?j(ξΔx?ηΔy)dξdη ???λz?式中Δx和Δy是d2(r)的两个分量。当Δx和Δy即d2(r)为零时，式 (11.27b) 右边分子变为分母的形式，因而有 ?h(r?r0)h*?r?r0?dr0???P(ξ,η)?dξdη
将上述两式代回相关因子的表达式中，（11.27b）即可转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。
μ?Δx,Δy????P(ξ,η)?exp??π?j(ξΔx?ηΔy)dξdη???λz?? （11.13）
??P(ξ,η)
dξdη11.4 在如图11.2的全息干涉记录光路中置于物面处的被测物在激振器驱动下垂直于物面
进行稳态振动，照明参考光与物面法线方向夹角可近似为不变的30°。用时间平均法记录下的全息图处理后放到图11.3的全息干涉再现光路中，再现参考光与物面之间几何关系与记录光路中完全相同。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，试问稳态振型的振幅最大值是多少？假设记录和再现的光波长为633纳米。 答：因为在时间平均法记录下的全息图重现像的振动图样中，不运动的区域即节线处显示最亮的条纹，随着条纹级次的增加，亮条纹的强度逐渐下降。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，稳态振型的振幅最大值处是第三条暗纹。因此
?πλBmax??.????
故振幅最大值为
Bmax??.?????
11.5 分离再现外差全息干涉方法中，如果被测物的空间频谱分布在?f?与f?之间，而且
两束参考光均为平面波，试问参考角?，?（参阅图11.7）需满足什么条件才能保证外差全息干涉图与噪声项完全分离？
答：分离再现外差全息干涉方法中，复原到全息记录面上的处理好的全息图振幅透过率可表示为
λ?π??.???μ