成立．
12．设f(x)在[0,??]上连续且有界，对?a?(??,??)，f(x)?a在[0,??)上只有有限个根或无根，求证：limf(x)存在．
x???证明 由f(x)在[0,??]上有界知f(x)在[0,??]上既有上界又有下界，不妨设上界为
v，下界为u，若u?v，则limf(x)?u?v，结论必然成立，故以下假定u?v．
x???令[u1,v1]?[u,v]，二等分区间[u1,v1]，分点为
u1?v1u?v1，由于f(x)?1在[0,??)22上只有有限个根或无根，而且f(x)连续，因而?X1?0,?x?X1时，有f(x)?u1?v1或2f(x)?u1?v1u?v1u?v?u?v1?．若f(x)?1，令[u2,v2]??1,v1?，若f(x)?11，则令222?2??u?v?[u2,v2]??u1,11?，因此?x?X1时，f(x)?[u2,v2]，即u2?f(x)?v2．
2??二等分区间[u2,v2]，分点为
u2?v2u?v2，由于f(x)?2在[0,??)上只有有限个根22或无根且f(x)连续，故?X2?X1,?x?X2时，有f(x)?u2?v2u?v2或f(x)?2．若22f(x)?u2?v2?u?v2??u?v2?，令[u3,v3]??2，因此,v2?，反之令[u3,v3]??u2,2?22??2???x?X2时，f(x)?[u3,v3]，即u3?f(x)?v3. 依此类推，得一区间套{[un,vn]}，而
且由区间套的构造知，?Xn?Xn?1,?x?Xn时，un?f(x)?vn．由区间套定理知存在唯一的r?[un,vn],n?1,2,?，下证limf(x)?r．
x???事实上，对???0，由闭区间套{[un,vn]}的构造知，存在N，?n?N时，有
[un,vn]?(r??,r??)，
特别地取n?N?1，则[uN?1,vN?1]?(r??,r??)，按区间套的构造知?XN?1,?x?XN?1时，f(x)?[uN?1,vN?1]?(r??,r??)，即r???f(x)?r??，从而
f(x)?r??，
即limf(x)?r，也就是说limf(x)存在．
x???x???
§3 实数的完备性
f(x)与1．设f(x)在(a,b)连续，求证：f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是lim?x?ax?b?limf(x)都存在．
证明 ?)必要性
由f(x)在(a,b)一致连续知，???0,???0，?x?,x???(a,b)且|x??x??|??时，都
有
f(x?)?f(x??)??.特别地，当x?,x???(a,a??)时，x??x????，故
x?a?x?b?f(x?)?f(x??)??，由Cauchy收敛原理知limf(x)存在．同理可知limf(x)也存在．
?)充分性
证法
f(x)存在知??1，?x?,x???(a,a??1)时，1 ???0，由lim?x?ax?b?f(x?)?f(x??)??，又由于limf(x)也存在，故??2，?x?,x???(b??2,b)时，
f(x?)?f(x??)??．
取??min???1?2b?a?,,?，则由以上两条知f(x)在(a,a??],[b??,b)上一致连224??续，而又因为f(x)在[a??,b??]上连续，因而一致连续，因此f(x)在(a,a??]、
[a??,b??]、[b??,b)上均一致连续，因此f(x)在(a,b)一致连续．
f(x)与limf(x) 都存在，设lim?f(x)?A,limf(x)?B，令 证法2 由已知lim???x?ax?bx?ax?b?A?F(x)??f(x)?B?x?a;x?(a,b); x?b.则F(x)在[a,b]连续，因而一致连续，从而F(x)在(a,b)一致连续，而F(x)在(a,b)上就是f(x)，因而f(x)在(a,b)上一致连续．
2．求证数列xn?1?12???1n，当n??时的极限不存在．
证明 利用Cauchy收敛原理的否定形式证明． 取?0?1?0,?N?0，任取n?N，则2n?N，从而 2x2n?xn?1n?1?1n?2???12n
?1111111????????????0， n?1n?22n2n2n2n212???1n当n??时的极限不存在．
由Cauchy收敛原理的否定知数列xn?1?3．利用Cauchy收敛原理讨论下列数列的收敛性． （1）xn?a0?a1q?a2q2???anqn（2）xn?1?(|q|?1,|ak|?M)；
sin1sin2sinn?2???n； 22211n?11（3）xn?1?????(?1)． 23nn?1n?1???0，?n?N时，?0，|?解（1）由|q|?1知limq从而?N，有|qn??1?|q|?，M对上述N,?n,m?N时（不妨m?n），有
xn?xm?xn?1?xn?2???xm?xn?1?xn?2???xm
?xn?1?xn?2???xm???|an?1||q|n?1?|an?2||q|n?2?? ?M|q|?n?1?|q|n?2|q|n?1M1?|q|???M?????.
1?|q|1?|q|M?由Cauchy收敛原理知数列{xn}收敛．
（2）这是(1)中a0?1,ak?sink,q?收敛．
（3）证法1 利用Cauchy收敛原理.
11的特殊情形，由于ak?1,|q|?，故数列{xn}22???0，由lim，有 m?n）
11?0知，?N，?n?N时??，对上述N,?n,m?N时（不妨n??nnxn?xm?(?1)n?2111?(?1)n?3???(?1)m?1 n?1n?2m?由于
111????(?1)m?n?1. n?1n?2m111????(?1)m?n?1?0，故 n?1n?2m111xn?xm?????(?1)m?n?1.
n?1n?2mxn?xm?111????(?1)m?n?1 n?1n?2m若m?n为偶数，则
??若m?n为奇数，则
11?1?1?1?1??????????? n?1?n?2n?3?m?2m?1??m1??. n?1111????(?1)m?n?1 n?1n?2mxn?xm???11?1??1?1????? ?????n?1?n?2n?3??m?1m?1??. n?1因而由Cauchy收敛原理知数列{xn}收敛．
证法2 先考虑数列{xn}的偶子列{x2n}，由于
x2(n?1)?1?111111????(?1)2n?3?1????? 232n?2232n?21??11??1??11??1??1???????????????? ?2??34??2n?12n??2n?12n?2?1??1??11??1??1?????????????x2n， ?2??34??2n?12n?故偶子列{x2n}是单调递增的数列，又由于
x2n?1?1111??11??1????(?1)2n?1?1???????????1， 232n?23??2n?12n?因而偶子列{x2n}是单调上升且有上界的数列，由单调有界原理知{x2n}必有极限存在，设
limx2n?a. 又由于x2n?1?x2n?n??11?0，从而 且limn??2n?12n?1limx2n?1?limx2n?limn??n??1?a.
n??2n?1于是我们证得数列{xn}的奇、偶子列均收敛而且极限相同，故数列{xn}收敛.
4．证明：极限limf(x)存在的充要条件是：对任意给定??0，存在??0，当
x?x00?x??x0??,0?x???x0??时，恒有f(x?)?f(x??)??.
证明 ?)必要性
设limf(x)?A，则???0,???0,?x,0?x?x0??，就有f(x)?A?x?x0?2，因此
由0?x??x0??,0?x???x0??知
f(x?)?f(x??)?(f(x?)?A)?(f(x??)?A)?f(x?)?A?f(x??)?A??，
因而必要性成立.
?)充分性
设{xn}是任意满足limxn?x0且xn?x0的数列，由已知???0,???0，只要
n??0?x??x0??，0?x???x0??时，有f(x?)?f(x??)??.
对上述??0，由于limxn?x0，且xn?x0，故?N,?n?N时，有0?|xn?x0|??；
n???m?N时，有0?|xm?x0|??，于是f(xn)?f(xm)??，即{f(xn)}是基本列，由实
数列的Cauchy收敛准则知limf(xn)存在．
n??由{xn}的取法知任意趋向于x0而不等于x0的实数列{xn}都有极限limf(xn)存在．下
n??证它们的极限都相等．
??x0(xn??x0)，但limf(xn)?limf(xn?)，则定反设limxn?x0(xn?x0),limxnn??n??n??n??义一个新的数列
?,x2,x2?,?}， {yn}?{x1,x1由{yn}的构造知limyn?x0(yn?x0)，但limf(yn)有两个子序列极限不相等，故极限
n??n??limf(yn)不存在，矛盾．
n??从而任意趋向于x0而不等于x0的实数列{xn}构成的数列f(xn)都有极限存在．而且它们的极限都相等．由Heine归结原则知limf(x)存在．
x?x0