有f(x1)?f(x2)??，因而f(x)在(??,??)上一致连续．
11．若f(x)在区间X（有穷或无穷）中具有有界的导数，即f?(x)?M，x?X，则f(x)在X中一致连续．
证明 对???0，取???，则对任意x1,x2?X，只要|x1?x2|??，根据LagrangeM中值定理，存在?在x1,x2之间，且
f(x1)?f(x2)?|f?(?)(x1?x2)|?Mx1?x2?M???，
从而f(x)在X中一致连续．
12．求证：f(x)?证明 由于f(x)?xlnx在(0,??)上一致连续．
故f?(x)?xlnx，
1x?12xlnx?2?lnx2x，f??(x)??lnx4xx，
令f??(x)?0得x?1，故x?1是f?(x)的稳定点，当x?(0,1),f??(x)?0，从而f?(x)单调递增；而当x?(1,??),f??(x)?0，故f?(x)单调递减，因此x?1是f?(x)的极大值点，也是最大值点，而f?(1)?1，从而对?x?(0,??)，f?(x)?1．
?2?2再令f?(x)?0得x?e，在区间[e,??)上，由于f?(x)?0，因而在[e,??)上
?20?f?(x)?1，即f?(x)?1，由上题结论知f(x)在[e?2,??)上一致连续．此外，由于
x?0?limf(x)?limxlnx?0，若令 ?x?0?xlnxg(x)???0x?0,x?0.
则g(x)在[0,2]连续，因而一致连续，从而g(x)在(0,2]上一致连续，即f(x)在(0,2]一致连续．
?2?2对???0，由f(x)在[e,??)上一致连续知，??1?0，对任意x1,x2?[e,??)且
x1?x2??1，都有f(x1)?f(x2)??；又由f(x)在(0,2]上一致连续知，??2?0，对
任意x1,x2?(0,2]且x1?x2??2，也有f(x1)?f(x2)??．
取??min{则当x1,x2?(0,??)且x1?x2??时，要么x1,x2?(0,2],?1,?2,1}?0，
要么x1,x2?[e?2,??)，从而f(x1)?f(x2)??．因此f(x)?连续．
xlnx在(0,??)上一致
13．设f(x)在(a,??)上可导，且limf?(x)???，求证：f(x)在(a,??)上不一致
x???连续．
证明 取?0?1，对???0，由于limf?(x)???，故?X?0，当x?X时，有
x???f?(x)?2?，任取x1?X，x2?x1??2?X，虽然有x1?x2??2??，但根据lagrange
中值定理知，存在??(x1,x1??2)，使得
2???1??0. ?2f(x1)?f(x2)?f?(?)?x1?x2?根据一致连续的否定定义知f(x)在(a,??)上不一致连续．
14．求证：f(x)?xlnx在(0,??)上不一致连续．
证明 由于limf?(x)?lim(lnx?1)???，由上题结论知结论成立．
x???x???
§5 可积性
1. 判断下列函数在区间[0,1]上的可积性： （1）f(x)在[0,1]上有界，不连续点为x?1(n?1,2,?)； n?????sgn?sin?,x?(0,1],（2）f(x)?? x???0,x?0;??1?1????,x?(0,1],（3）f(x)??x? ?x??x?0;?0,?1?,x?(0,1],（4）f(x)???1 ?x?x?0.?0,解（1）由于f(x)在[0,1]上有界，故存在M?0，对?x?[0,1]，都有f(x)?M，故在区间[0,1]的任何子区间上，f(x)的振幅??2M.
对任给??0，由于lim4M4M??0，故?N,?n?N时，都有?，特别地取
n??nn2也有n0?N?1时，
?14M?. 由于在f(x)??n02?n0?1?n0?因而是可积的，,1?上只有有限个间断点，
?即??1?0，使得对区间???,1?的任何??max(?xi?)??1的分法，都有??i'?xi'?．
2i'?n?1?取??min??1,?，对[0,1]的任意??max(?xi)??的分法，下证??i?xi??.
ni?10??由于
11?(0,1)，故对上述任意分法，都存在分点xi0?1,xi0，使得xi0?1??xi0，因而 n0n0???x????xiiii?1i?1ni0?1i??i0?xio?i?i0?1???xini?2M??xi?2M??i?1i0?1i?i0?1???xini
?2Mn11????2M?????， n0n0222这里最后一项
i?i0?1??i?xi?ni?i0?1?2是由于xi0?1,1?????1??1?,1?，而f(x)在?,1?可积，故函数在区
?n0??n0?nii间xi0?1,1可积，因而
?????x???x?2．因此lim?ii?0i?1??0，即f(x)在[0,1]上可积．
（2）由于f(x)在[0,1]上有界，且不连续点为x?的证法知f(x)在[0,1]上可积．
1(n?1,2,?)和x?0，根据（1）n（3）由于f(x)在[0,1]上有f(x)?1，故f(x)有界，而且f(x)的不连续点为x?0和
x?1(n?1,2,?)，由（2）的证法知，f(x)在[0,1]可积． n（4）由于f(x)在[0,1]上有0?f(x)?1，故f(x)有界，而且f(x)的不连续点只有
x?1(n?1,2,?)，由（1）的证明知f(x)在[0,1]可积． n2．讨论f(x),f(x),f(x)三者之间可积性的关系．
22 解 f(x),f(x),f(x)三者之间可积性的关系是：若f(x)可积，则f(x)与f(x)均
22可积，反之不然；f(x)可积与f(x)可积等价．下面给出证明：
（1）先由f(x)可积推导f(x)可积.
由f(x)可积知lim??0???xii?1ni?0，而对于任一所讨论区间[xi?1,xi]中的任意两点
**都有f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)，即?i??i（其中?i是f(x)在?xi?1,xi?x?,x??，
nn上的振幅），因而0???i?1*i?xi???i?xi?0(??0)，即f(x)可积．
i?1再由f(x)可积推导f2(x)可积.
由f(x)可积知f(x)有界，即存在M?0，对定义域中的任意x，都有f(x)?M，
而且lim??0???xii?1ni?0.对任一区间?xi?1,xi?中的任意两点x?,x??，由于（设?i?是f2(x)在
?xi?1,xi?上的振幅）
f2(x?)?f2(x??)?f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)?2Mf(x?)?f(x??)，
故0?????xii?1ni?2M??i?xi?0(??0)，从而f2(x)可积.
i?1n（2）再说明f(x)与f2(x)可积不能推出f(x)可积，例如令函数
x?[0，1],且x?Q,?1, f(x)???1,x?[0，1],且x?R\\Q，?则任意x?[0,1]时，f(x)?f(x)?1，故在[0,1]上f(x)与f2(x)均可积，但对于函数
2f(x)而言，在[a,b]的任一子区间上，振幅?i?2，故??i?xi?2?0，于是f(x)在[a,b]i?1n上不可积.
（3）最后证明f(x)可积与f2(x)可积等价． 先由f(x)可积推导f(x)可积. 由于
2f2(x?)?f2(x??)?f(x?)?f(x???f(x?)?f(x??
??f(x?)?f(x????f(x?)?f(x?? ?2M?f(x?)?f(x??，
因而由f(x)可积知f(x)可积．
2再由f2(x)可积推导f(x)可积.
不妨令f2(x)?c(c?0)，否则考虑函数g(x)?f2(x)?c，则g(x)与f2(x)有同样的可积性．对任一区间?xi?1,xi?中的任意两点x?,x??，由于
f(x?)?f(x??)?f(x?)?f(x??)?f2(x?)?f2(x??)，
故 f(x?)?f(x??)?f2(x?)?f2(x??)f(x?)?f(x??)?12cf2(x?)?f2(x??)，
从而由f2(x)可积可得f(x)可积. 因此f(x)可积与f2(x)可积等价．
3．设f(x),g(x)都在[a,b]上可积，证明：
M(x)?max(f(x),g(x)),m(x)?min(f(x),g(x))
在[a,b]上也是可积的．
f(x)?g(x)1?f(x)?g(x)，而f(x),g(x)都在[a,b]上可积，
22f(x)?g(x)1m(x)??f(x)?g(x)，故由积分的可加性和上题结果知M(x)可积；同理，
22证明 由于M(x)?因而m(x)可积．
4．设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)?r?0，求证：
（1）
1在[a,b]可积； f(x)（2）lnf(x)在[a,b]可积．
证明 由于f(x)在[a,b]上可积，故lim??0???xii?1nni?0，即对???0,???0，对区间
[a,b]的任意??max(?xi)??的分法，都有??i?xi??．
i?1（1）对上述[a,b]的任意???的分法，设?i为函数
*1在区间?xi?1,xi?上的振幅，f(x)并设?i?*11，由于 ?f(x?)f(x??)