?i*?n*f(x?)?f(x??)1111???2f(x?)?f(x??)?2?i， f(x?)f(x??)f(x?)f(x??)rrn11*，即，因此在区间[a,b]上??x??lim??x?0??iiii2??0f(x)ri?1i?1n1从而??i?xi?2ri?1可积．
（2）对上述[a,b]的任意???的分法，设?i?为函数lnf(x)在区间?xi?1,xi?上的振幅，并设?i??lnf(x?)?lnf(x??)，不妨lnf(x?)?lnf(x??)，由于
?i??lnf(x?)?lnf(x??)?lnf(x?)?lnf(x??)?ln又由于当x?0时ln(1?x)?x，故
?f(x?)f(x?)??ln?1??1???， ??f(x??)f(x)???f(x?)?f(x?)f(x?)?f(x??)11??????ln?1??1??1??f(x)?f(x)??i， ????????f(x)?f(x)f(x)rr?n1n1从而??i??xi???i?xi??，即因此lnf(x)在区间[a,b]上可积． mil??i??xi?0，
??0rri?1i?1i?1n5．设f(x)在[a,b]可积，求证：任给??0，存在逐段为常数的函数?(x)，使
?baf(x)??(x)dx??.
证明 对???0，由于f(x)在[a,b]上可积，故根据可积的定义知，???0，对[a,b]的任意??max(都有?xi)??的分法，
???xii?1ni对上述分法的任一小区间?xi?1,xi?，??．
由于振幅?i?Mi?mi，故?x??xi?1,xi?，函数f(x)满足mi?f(x)?Mi．
令
?(x)???mi,x?[xi?1,xi),i?1,2,?,n?1,
x?[xn?1,xn].?mn,则?(x)是逐段为常数的函数，而且在区间[xi?1,xi)上，
f(x)??(x)?Mi??(x)?Mi?mi??i，
因此
?baf(x)??(x)dx???i?1nxixi?1f(x)??(x)dx???i?xi??，
i?1n故
?baf(x)??(x)dx??.
6．设f(x)在[a,b]上有界，定义
?f[a,b]?supf(x)?inff(x)，
x?[a,b]x?[a,b]求证：?f[a,b]?supf(x?)?f(x??)．
x?[a,b]x?,x???[a,b]证明 因为当supf(x)?inff(x)时f(x)在[a,b]上是常函数，结论显然成立，因
x?[a,b]而下述证明中假设supf(x)?inff(x)．
x?[a,b]x?[a,b]对?x?,x???[a,b]，由于f(x?)?supf(x),f(x??)?inff(x)，从而有
x?[a,b]x?[a,b]|f(x?)?f(x??)|?supf(x)?inff(x)??f[a,b]，
x?[a,b]x?[a,b]因此?f[a,b]是|f(x?)?f(x??)|在[a,b]的上界，下证?f[a,b]也是上确界．
事实上，对任意0???supf(x)?inff(x)，由于supf(x)是f(x)在[a,b]的上
x?[a,b]x?[a,b]x?[a,b]确界，故?x1?[a,b]，使得f(x1)?supf(x)?x?[a,b]?2；而infx?[a,b]f(x)是f(x)在[a,b]的下确
界，故?x2?[a,b]，使得f(x2)?inff(x)?x?[a,b]?2．因此
f(x1)?f(x2)?supf(x)?x?[a,b]??????inff(x)?? 2?x?[a,b]2? ?supf(x)?inff(x)????f[a,b]??，
x?[a,b]x?[a,b]因此?f[a,b]是|f(x?)?f(x??)|在[a,b]的上确界，即?f[a,b]?sup7．设f(x)在x0附近有定义且有界，定义
f(x?)?f(x??)．
x?,x???[a,b]?f(x0)?lim?f?x0?,x0??，
n??求证：f(x)在x0连续的充分必要条件是?f(x0)?0．
证明 ?)必要性
对???0,由f(x)在x0连续知???0,?x,x?x0??时，都有f(x)?f(x0)???1n1?n??2，
取N????1，则?n?N时，由??知?x0?,x0???(x0??,x0??)．从而由
nnn?????上题的结论知
?1?1?11??f?x0?,x0??? ???1n1?n?sup11x?,x???(x0?,x0?)nnf(x?)?f(x??)
sup11x?,x???(x0?,x0?)nn?f(x?)?f(x)0?f(x??)?f(x0)?
??????????， 11?22?x?,x???(x0?,x0?)supnn从而lim?f?x0?n????11?,x0???0，即?f(x0)?0. nn??)充分性
对???0, 由于lim?f?x0?n????11?,x0???0，故?N，任意n?N时，有 nn???1n1?n??f?x0?,x0????，
即
sup11??x??x0?,x0??nn??f(x)?11??x??x0?,x0??nn??inff(x)??.
取??1，则?x?(x0??,x0??)时 nf(x)?f(x0)? ?x??x0??,x0???supf(x)?f(x)?x??x0??,x0???inff(x) f(x)??，
sup11??x??x0?,x0??nn??11??x??x0?,x0??nn??inf因而f(x)在x0连续．
由必要性和充分性知原结论成立． 8．若函数f(x)在[A,B]上可积，证明：
lim?f(x?h)?f(x)dx?0，
h?0ab其中A?a?b?B（这一性质称为积分的平均连续性）．
证明 因为函数f(x)在[A,B]上可积，从而f(x)在[A,B]上有界，即存在M?0，使
得?x?[A,B],f(x)?M.又由A?a?b?B知，函数f(x)在区间[a,b]可积，从而根据定义，对???0,????0，对区间[a,b]的任意??max(lim??i?xi?0，?xi)?????0i?1nn的分法，都有
??i?xi?i?1?6．
特别地，令N1??b?ab?a?b?a?N?，则，故???，因而对?n?N1，都有?11????N1???nb?ai(b?a)????，故对区间[a,b]的n等分分法，也有??i?xi?，其分点xi?a?，nn6i?1i?0,1,?,n，而且有
?令h?min?baf(x?h)?f(x)dx???i?1nxixi?1f(x?h)?f(x)dx. （1）
?b?a?,B?b,a?A?，则
?n?（ⅰ）若x,x?h都在第i(i?1,2,?,n)个小区间上，则f(x?h)?f(x)??i. （ⅱ）若x,x?h位于相邻区间上，x位于第i(i?1,2,?,n)个区间，则当h?0时，
x?h位于第i?1区间，因而有
f(x?h)?f(x)?f(x?h)?f(xi)?f(xi)?f(x)??i?1??i；
当h?0时，x?h位于第i?1区间，因而
f(x?h)?f(x)?f(x?h)?f(xi?1)?f(xi?1)?f(x)??i?1??i；
综合（ⅰ）（ⅱ）知对任i?1,2,?,n，f(x?h)?f(x)??i?1??i??i?1，这里当i?1和
i?n时，?0?2M,?n?1?2M，因此
??i?1nxixi?1f(x?h)?f(x)dx?3??i?xi?4Mi?1nb?a?b?a， （2） ??4Mn2n由于lim4Mn??b?a?0，故对上述??0,?N2?0,?n?N2时 nb?a?4M?. （3）
n2N1,N2}，则?n?N时，式（1）因而取N?max{（2）（3）均成立，因而
?综上所述，取??min?而limbaf(x?h)?f(x)dx??. （4）
?b?a?,B?b,a?A?，则当h??时，恒有（4）式成立，因
?N?1?h?0a?bf(x?h)?f(x)dx?0．
9．设f(x)?0,f??(x)?0，对?x?[a,b]成立，求证：
f(x)?2bf(x)dx. ?ab?a证明 由于f(x)在区间[a,b]二阶可导，因而f(x)在区间[a,b]必连续，由闭区间上连续函数的最大值定理知，使得f(x0)?maxf(x)，这里不妨设x0?(a,b)（当?x0?[a,b]，
a?x?b，并将区间[a,b]分为[a,x0]和[x0,b]． x0?a或x0?b时同理可证）
考虑区间[a,x0]，对?x?[a,x0]，作代换x?(1??)a??x0，则0???1，从而
?x0af(x)dx??f((1??)a??x0)(x0?a)d??(x0?a)?f((1??)a??x0)d?，
0011由于f??(x)?0，从而f(x)是上凸函数，又由于f(x)?0，因而
(x0?a)?f((1??)a??x0)d??(x0?a)??(1??)f(a)??f(x0)?d?
0011?(x0?a)??综合上两个式子可知，
1?f(x0)?f(a)? 21f(x0)(x0?a). 2?x0af(x)dx?1f(x0)(x0?a)；同理可证在[x0,b]区间上，有2?bx0f(x)dx?1f(x0)(b?x0)．因此 2?从而
baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
ax0xob?111f(x0)(x0?a)?f(x0)(b?x0)?f(x0)(b?a)， 2222bf(x)dx?f(x0). 又由于f(x0)?maxf(x)，因此对?x?[a,b]，都有 ?aa?x?bb?a2bf(x)?f(x)dx，
b?a?a因此结论成立．
10．设f(x)在[a,b]有连续的导函数，求证：