xn?[a,b]，从而
xn?1?xn?f(xn)?f(xn?1)?kxn?xn?1?knx1?x0，
因此
xm?xn?xm?xm?1?xm?1???xn?1?xn?xm?xm?1???xn?1?xn
?km?1x1?x0???knx1?x0?(km?1???kn?1?kn)x1?x0
?(k?knn?1kn??)x1?x0?x1?x0??.
1?k因此由Cauchy收敛原理知limxn存在.
n???（2）设方程x?f(x)在[a,b]上有两个不同的解c,d，则
c?d?f(c)?f(d)?kc?d?c?d，
矛盾，故根是唯一的．
§4 再论闭区间上连续函数的性质
1．设f(x)在[a,b]上连续，并且最大值点x0是唯一的，又设xn?[a,b]，使
n???limf(xn)?f(x0)，
求证limxn?x0．
n???证明 不妨设x0?(a,b)，当x0?a或x0?b时同理可证．
对任意0???min{x0?a,b?x0}，由于f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,x0??]、
[x0??,x0??]、[x0??,b]上连续，由闭区间连续函数的最值定理，f(x)在[a,x0??]、[x0??,x0??]、[x0??,b]上均有最大值，显然f(x)在[x0??,x0??]上的最大值为f(x0)，设f(x)在[a,x0??]和[x0??,b]上的最大值为M，由最大值点的唯一性可知f(x0)?M．
取
f(x0)?M?0，由limf(xn)?f(x0)知?N,?n?N时，
n???2f(xn)?f(x0)?f(x0)?M，
2即 f(xn)?f(x0)?f(x0)?Mf(x0)?M??M，
22而f(x)在[a,x0??]和[x0??,b]上的最大值为M，故xn?(x0??,x0??)，即
|xn?x0|??，
从而limxn?x0．
n???2．设f(x)在[a,b]上连续，可微；又设 (1) minf(x)?p?maxf(x)；
a?x?ba?x?b (2) 如果f(x)?p，则有f?(x)?0， 求证：f(x)?p的根只有有限多个．
证明 利用区间套定理．
反设f(x)?p在[a,b]上有无穷多个根，设[a1,b1]?[a,b]，二等分区间[a1,b1]，则在两个子区间中必有一个区间含有f(x)?p的无穷多个根，设此区间为[a2,b2]，再二等分区间[a2,b2]，则在两个子区间中必有一个区间含有f(x)?p的无穷多个根，设此区间为[a3,b3],?．依此类推得一区间套{[an,bn]}，由区间套的构造知f(x)?p在任意
[an,bn]有无穷多个根.
由区间套定理知?r?[a,b]，使得对于任意n?N?,r?[an,bn]．
若f(r)?p，则令g(x)?f(x)?p，g(x)也在[a,b]连续，且g(r)?f(r)?p?0，从而由保号性知??,?x?(r??,r??)时，都有g(x)?0，即f(x)?p，而由区间套知
?N,?n?N时[an,bn]?(r??,r??)，即f(x)?p在[an,bn]无根，这与区间套的构造
矛盾．
im若f(r)?p，则f?(r)?0，即l时，有
x?rf(x)?f(r)?0，从而???,?x，当0?|x?r|???x?rf(x)?f(r)?0，即f(x)?p，从而在(r???,r???)上f(x)只有一个根r，而
x?r由区间套知?N,?n?N时[an,bn]?(r??,r??)，即f(x)?p在[an,bn]只有一个根，这与区间套的构造矛盾．
因此f(x)?p在[a,b]上只有有限多个根．
3．设f(x)在[a,b]上连续，f(a)?0,f(b)?0，求证：存在??(a,b)，使f(?)?0且f(x)?0(??x?b)．
证明 令E?{x|x?[a,b]且f(x)?0}，由于f(a)?0,f(b)?0，且f(x)在[a,b]上连续，由介值性定理知E??，从而E为非空有界数集，由确界原理知E有上确界，设
??supE，下证f(?)?0．
事实上，由于??supE，由本章第一节习题3知可以在E中选取数列{xn}，使
limxn??，又由f(x)连续知
n??f(?)?f(limxn)?limf(xn)?0，
n??n??又对于?x?(?,b]，由于x?E，从而f(x)?0，又根据f(b)?0知f(x)?0，因而结论成立．
4．设f(x)是[a,b]上的连续函数，其最大值和最小值分别为M和m(m?M)，求证：必存在区间[?,?]，满足条件：
(1) f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M； (2) m?f(x)?M，当x?(?,?)．
证明 由于f(x)是[a,b]上的连续函数，且有最大值M和最小值m，故由最值定理知
?c?[a,b]，使得f(c)?M；?d?[a,b]，使得f(d)?m，由于m?M，故c?d，令
??min{c,d}，??max{c,d}，则在区间[?,?]上满足：
（1）f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M；
（2）对?x?(?,?)，由于f(?)?M,f(?)?m或f(?)?m,f(?)?M，而M,m分别为[a,b]上的最大值和最小值，故m?f(x)?M．
5．设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a)，求证：存在x?[0,a]，使
f(x)?f(x?a)．
证明 考虑辅助函数g(x)?f(x)?f(x?a)，x?[0,a].
若f(0)?f(a)，根据已知条件f(0)?f(2a)可知，取x?0或x?a时，均有
f(x)?f(x?a)，命题已证．
若f(0)?f(a)，则g(0)?f(0)?f(a)，g(a)?f(a)?f(2a)?f(a)?f(0)，从而g(0)与g(a)符号相反，由零点定理知?x?[0,a]，使g(x)?0，即f(x)?f(x?a)．
6．设f(x)在[a,b]上连续，且取值为整数，求证f(x)?常数．
证明 反设f(x)不恒为常数，则?x1,x2?[a,b]，使得f(x1)?f(x2)，又由于f(x)取值为整数，故f(x1),f(x2)均为整数，在f(x1),f(x2)之间任取一非整数c，则由介值性定理知???[a,b]，使得f(?)?c，这与f(x)取值为整数矛盾．
7．设f(x)在(a,b)一致连续，a,b???，证明：f(x)在[a,b]上有界．
证明 由于f(x)在[a,b]上一致连续，故取??1?0，则???0，当x1?x2??时，有f(x1)?f(x2)?1. 取定a1,b1，其中a?a1?a??，b???b1?b，则?x?(a,a1]， 有x?a1??，故f(x)?f(a1)?1，因而f(x)?f(a1)?1；同理?x?[b1,b)，有
x?b1??， 故f(x)?f(b1)?1，因而f(x)?f(b1)?1，因此f(x)在区间(a,a1]和
区间[b1,b)均有界. 另一方面，由于f(x)在[a1,b1]上一致连续，根据闭区间上连续函数的性质可知存在M1?0，使得?x?[a1,b1],f(x)?M1.
取M?max{M1,f(a1)?1,f(b1)?1}?0，则?x?(a,b)，均有f(x)?M，因而
f(x)在(a,b)上有界．
8. 若函数f(x)在(a,b)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数K，使得
f(x?)?f(x??)?Kx??x??，x?,x???(a,b).
证明：f(x)在(a,b)上一致连续．
证明 ???0, 取??1?, 则对?x?,x???(a,b),x??x????，由Lipschitz条件知2Kf(x?)?f(x??)?Kx??x???K?1???，因而依定义知f(x)在(a,b)上一致连续． 2K9．试用一致连续的定义证明：若函数f(x)在[a,c]和[c,b]上都一致连续，则f(x)在
[a,b]上也一致连续．
证明 对???0，由函数f(x)在[a,c]一致连续知??1?0，对?x1,x2?[a,c]而且就有f(x1)?f(x2)?x1?x2??1，
?2；又根据函数f(x)在[c,b]上一致连续知??2?0，
?x1,x2?[c,b]且x1?x2??2时，就有f(x1)?f(x2)??2．
取??min{?1,?2}，则?x1,x2?[a,b]且x1?x2??时，若x1,x2同属于[a,c]，有
f(x1)?f(x2)??2??；若x1,x2同属于[c,b]，也有f(x1)?f(x2)??2??；若x1,x2一
个属于[a,c]，另一个属于[c,b]，则由x1?x2??知x1?c??,x2?c??，从而
f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(c)?f(c)?f(x2)??2??2??.
因而?x1,x2?[a,b]且x1?x2??时，f(x1)?f(x2)??. 因此由一致连续的定义可知
f(x)在[a,b]上一致连续.
10．设函数f(x)在(??,??)上连续，且极限limf(x)与limf(x)存在． 证明：f(x)x???x???在(??,??)上一致连续．
证明 对???0，由于limf(x)存在，根据Cauchy收敛原理知，存在X1?0，任意
x???x1,x2??X1时，就有f(x1)?f(x2)??；又由于limf(x)存在，故存在X2?0，任
x???意x1,x2?X2，就有f(x1)?f(x2)??.
由于f(x)在(??,??)上连续，故f(x)在区间[?X1?1,X2?1]上连续，因而在
[?X1?1,X2?1]上一致连续，由一致连续的定义知，对上述??0，存在?1?0，任意
x1,x2?[?(X1?1),X2?1]，只要x2?x1??1，就有f(x1)?f(x2)??．
取??min{?1,1}?0，则?x1,x2?(??,??)，只要x1?x2??，则x1,x2同属于区间(??,?X1)、[?(X1?1),X2?1]或(X2,??)，由上述讨论知，不管在哪种情况下，都