maxf(x)?a?x?bb1bf(x)dx?f?(x)dx. ??aab?a证明 由于函数f(x)在[a,b]有连续的导函数，故f(x)在[a,b]连续，从而由最大值定理知，?x0?[a,b]，使得|f(x0)|?maxf(x)，又由积分中值定理知，存在??[a,b]，
a?x?b使得f(?)?1b1bf(x)dx，从而f(?)?f(x)dx，因此 ??aab?ab?amaxf(x)?f(x0)?f(x0)?f(?)?f(?)?f(x0)?f(?)?f(?)
a?x?b???ax0f?(x)dx?f(?)??x0?f?(x)dx?f(?)
??f?(x)dx?因而结论成立．
b1bf(x)dx. ?ab?a11．设f(x)在[a,b]上可积，求证：存在连续函数序列?n(x),n?1,2,?，使
lim??n(x)dx??f(x)dx.
n??aabb证明 由f(x)在[a,b]上可积知，f(x)在[a,b]有界. 对任意正整数n，将区间[a,b]
in等分，记xi?a?(b?a)，i?0,1,2?,n，当x??xi?1,xi?时，令
n?n(x)?f(xi?1)?f(xi)?f(xi?1)(x?xi?1)，i?1,2,?,n，
?xi即?n(x)是过点(xi?1,f(xi?1)),(xi,f(xi))的直线段，从而?n(x)在[a,b]上是折线段，因而是连续的．
令Mi,mi分别是f(x)在区间?xi?1,xi?上的上确界和下确界，则振幅?i?Mi?mi，因为在?xi?1,xi?上，min{f(xi?1),f(xi)}??n(x)?max{f(xi?1),f(xi)}，故
mi??n(x)?Mi.
又因为在?xi?1,xi?上mi?f(x)?Mi，因而在?xi?1,xi?上f(x)??n(x)??i．所以
?(f(x)??abn(x))dx????f(x)??i?1xi?1nxin(x)?dx???i?xi， （*）
i?1n因为f(x)在[a,b]上可积，故对???0,???0，对[a,b]的任意??max(?xi)??的分
法，都有
???xii?1ni?b?a???．对上述??0，取N???1，则?n?N时，对区间[a,b]????nb?a??，从而??i?xi??. 再根据（*）知的n等分分法，由于??max{?xi}?ni?1lim?(f(x)??n(x))dx?0，即lim??n(x)dx??f(x)dx.
n??an??aabbb12．设f(x)在[a,b]上黎曼可积，求证：
（1）存在区间序列{[an,bn]}，使[an?1,bn?1]?(an,bn)?(a,b)，且?f[an,bn]?（2）存在c??[an,bn]，使得f(x)在c点连续；
n?1?1； n（3）f(x)在[a,b]上有无穷多个连续点．
证明（1）由于f(x)在[a,b]可积，所以lim??0???xii?1ni?0，即对???0,???0，对
[a,b]的任意??max(?xi)??的分法，都有??i?xi??．
i?1n取?1?1?0，则?m1?0，对区间[a,b]的m1等分，
???xii?1m1i?(b?a)?1?b?a，
如此，在m1个小区间上至少有一个小区间，记为?xi?1,xi?，使得f(x)在其上振幅?i??1?1（如若不然，则
矛盾）．记?a1,b1?????i?xi?1?(b?a)?b?a，
i?1m1?3xi?1?xixi?1?3xi?，,?44??则a?a1?b1?b且b1?a1?xi?xi?1b?a?，此时f(x)在[a1,b1]上振幅当然也小于1． 221?0，?m2?0，对区2由于f(x)在[a,b]可积，故f(x)在[a1,b1]可积，故对?2?间[a1,b1]的m2等分，
??i?xi?(b1?a1)?2?i?1m2b1?a1，故在m2个小区间上至少有一个区21?3y?yiyi?1?3yi?．记[a2,b2]??i?1,?，244??间?yi?1,yi?，使得f(x)在其上的振幅?i??2?则a1?a2?b2?b1且b2?a2?yi?yi?1b1?a1b?a??2，此时f(x)在[a2,b2]上振幅222小于.?．
如此继续做下去，可得区间序列{[an,bn]}，满足[an?1,bn?1]?(an,bn)?(a,b)，且
12?f[an,bn]?1. n（2）由（1）中区间序列{[an,bn]}的构造知{[an,bn]}是一闭区间套，根据区间套定理知，?c??[an,bn]，下证f(x)在点c处连续．
n?1?对???0，则存在正整数n0，使
1取??m则当x?c????，ni{bn0?c,c?an0}，
n01??，即f(x)在x?c处连n0时，就有x?[an0,bn0]，从而f(x)?f(c)??f[an0,bn0]?续.
（3）因为对?[?,?]?[a,b]，f(x)在[?,?]上可积，从而f(x)在[?,?]上有连续点，有[?,?]的任意性知f(x)在[a,b]上有无穷多个连续点．