山东轻工业学院2012届本科生毕业设计（论文）
第一章 平面连杆机构的运动综合
1.1 概述
平面连杆机构综合的基本问题有三大类： 1．导引机构的综合
这类机构综合问题要求机构能引导它的一个构件顺序通过一系列给定的位置，该构件一般是连杆。
2．现预定运动规律的机构综合
这类机构综合问题要求机构主动件和从动件间的运动关系能实现某种给定的函数关系。 3．现预定轨迹的机构综合
这类机构综合问题要求所设计的机构连杆上某点能在机架平面上顺序精确地通过若干个指定点或近似地描绘出给定的曲线。
平面连杆机构综合的方法有图解法、解析法和实验法。图解法应用运动几何学原理求解，概念明确、直观易懂、简单易行。但设计精度低，只适用于问题简单且要求不高的场合，对于较为复杂的问题就很难解决。实验法用作图试凑或利用图谱或模型实验的方法求解，此方法直观简单，但精度不高，适用于精度要求不高的设计或机构的初步设计。解析法通过建立机构各构件间的函数关系（或运动方程）求解，求解精度高，便于求解机构在任意位置的运动参数，能解决较复杂的问题，但计算工作量大。随着计算机技术和数值计算方法的迅速发展，解析法已得到广泛应用。
连杆机构综合的解析方法有多种，如复数向量法、矢量法等。考虑到位移矩阵法概念清晰、适用面广、且便于上机计算，本文着重研究了平面连杆机构综合的矩阵解析模型及其计算机编程计算。
1.2 刚体位移矩阵
刚体的位移是指刚体位置的改变，可来描述。刚体在平面上的位置可用固联于
PQ用刚体位移矩阵
其上的任一向量向量尾部P为参
的方位来确定，如图1-1所示。其中
考点，向量的头部Q为待求点。
刚体的一般平面运动，可以看作是向 图1-1 平面刚体的位移
量PQ先平移后旋转两个运动的合成。即刚体先随参考点P由P1(xP1,yP1)平移到Pj(xPj,yPj)，再
绕参考点Pj（即z轴）转动?1j，从而由位置1运动到位置j，如图1-1所示。于是有
PjQj?Trans(xPj?xP1,yPj?yP1,0)Rot(z,?1j)P1Q1 （1-1）
或 Qj?Pj?Trans(xPj?xP1,yPj?yP1,0)Rot(z,?1j)(Q1?P1) （1-2） 其中
Trans(xPj?xP1,yPj?1??yP1,0)?0???0010xPj?xP1??yPj?yP1为平移变换矩阵。 ??1?3
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?cos?1j?Rot(z,?1j)?sin?1j???0?sin?1jcos?1j00??0为旋转变换矩阵。 ?1??将式（1-2）展开化简可得待求点Q在运动前后的关系
?xQj?y?Qj??1??xQ1?????D1jyQ1 （1-3） ???????1??式中
D1j?d11j??d21j???0d12jd22j0d13j??cos?1j??d23j?sin?1j??1????0?sin?1jcos?1j0xPj?xP1cos?1j?yP1sin?1j??yPj?xP1sin?1j?yP1cos?1j（1-4） ??1?称为刚体从位置1运动到位置j的位移矩阵。当参考点P的位移和刚体转角?1j已知时即可确定位移矩阵D1j中各元素的值。为简化起见，也可将（1-4）式简单地表达为
D1j?R?1j??0?0Pj?R?1jP1?? 1?（1-5）
式
?cos?1jR?1j???sin?1j?sin?1j?? cos?1j?中
称为平面旋转矩阵，规定?1j逆时针方向为图1-2 刚体导引机构
正。
1.3 刚体导引机构的综合
如图1-2所示四杆机构能引导固结在构件3上的刚体依次通过给定位置(xPj,yPj),?j
j?1,2,?,n，则该机构称为刚体导引机构。与被导刚体固结在一起的构件3称为被导构件（通
常是连杆），支持被导构件的构件1、2称为导引构件（通常是连架杆）。 此类综合问题的目标在于
设计相应的导引构件，使被导构件通过一系列给定的位置。由于平面连杆机构的运动副只有转动副R和移动副P，因而作为导引构件的连架杆也只有R?R杆和P?R杆两种形式。下面分别讨论其位移约束方程。
1.3.1 R-R导引构件（连架杆）的位移约束方程——定长方程
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对于平面铰链四杆机构，两导引构件均为R?R形式，其中与被导构件即连杆相连的转动副
R分别用a,b表示，与机架相连的转动副R分
别用a0,b01,2,?,j表示。如图1-3所示，设被导刚体分别位于其上与导引构件相连的a依次位于
a1,a2,?,aj。因导引构件a0a时，
在导引被导刚体运动的过
程中，始终绕a0转动，且长度保持不变，由
此即可列出
图1-3 R?R导引构件
点a的位移约束方程——定长约束方程为
(xaj?xa0)?(yaj?ya0)?(xa1?xa0)?(ya1?ya0)2222(j?2,?,n) （1-6）
1.3.2 P-R 导引构件（连架杆）的位移约束方程
导引构件为P?R时，它与被导构件转动副R，而与机架组成移动副，如图设给定被导刚体一系列位置1,2,?,j时，引构件铰接的b点依次位于b1,b2,?,bj。
件在导引被导刚体运动的过程中，沿一固
动，故b点的一系 图1-4 P?R导引构件
连杆组成1-4所示。其上与导因导引构定直线运
列位置b1,b2,?,bj中每两点连线的斜率都应相等。由此即可列出点b的位移约束方程——定斜率方程为
ybj?yb1xbj?xb1?yb2?yb1xb2?xb1?tan?(j?3,4,?,n) （1-7）
1.3.3 给定连杆三个位置的机构综合
设给定连杆平面上某点P的三个位置Pj(xPj,yPj)(j?1,2,3)及通过该点的某条直线的位置角
?j(j?1,2,3)，设计铰链四杆机构。此即为连杆平面精确通过三个位置的刚体导引机构综合问题。
1. R?R导引构件的综合
取位置1为参考位置，则由式（1-6）可得两个定长约束方程
(xaj?xa0)?(yaj?ya0)?(xa1?xa0)?(ya1?ya0)2222(j?2,3) （1-8）
将上式中的aj(xaj,yaj)(j?2,3)用位移矩阵表示成a1(xa1,ya1)的函数
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?xaj?y?aj??1??xa1??d11j?????D1jya1?d21j????????1????0d12jd22j0d13j??xa1????d23jya1???1????1??(j?2,3) （1-9）
将给定的Pj(xPj,yPj)(j?1,2,3)和?1j??j??1(j?2,3)代入式（1-4）中即可确定位移矩阵
D1j(j?2,3)的各元素。将式（1-9）代入式（1-8）得到只包含a1(xa1,ya1)和a0(xa0,ya0)四个未
知数的方程
(d11jxa1?d12jya1?d13j?xa0)(d11jxa1?d12jya1?d13j?xa0)?(d21jxa1?d22jya1?d23j?ya0)(d21jxa1?d22jya1?d23j?ya0)?(xa1?xa0)?(ya1?ya0)22
(j?2,3)用两个方程解四个未知数xa1,ya1,xa0,ya0，所以有无穷多组解。可以预先给定四个未知数中的任意两个，从而得到只含有两个未知数的两个线性方程，进而求出另外两个未知数。设给定固定铰链的位置a0(xa0,ya0)，将上式展开，并注意到位移矩阵D1j(j?2,3)中各元素间的关系
d11j?d22j?cos?1jd12j??d21j??sin?1j
进行整理，即可得线性方程组
Ajxa1?Bjya1?Cj(j?2,3) （1-10）
式中
Aj?d11jd13j?d21jd23j?(1?d11j)xa0?d21jya0Bj?d12jd13j?d22jd23j?(1?d22j)ya0?d12jxa0Cj （1-11）
?d13jxa0?d23jya0?(d13j?d23j)/222由方程组（1-10），应用克莱姆法则或牛顿-拉普森算法即可求得a1(xa1,ya1)。
一般来说，设给定连杆平面精确位置数为n，则定长约束方程数目为(n?1)，而未知数的数目为4，所以可选未知数数目为q?4?(n?1)?5?n。令q?0，即可得到导引刚体的铰链四杆机构所能满足的最多精确点数nmax?5。若n?5，即给定连杆平面五个位置，可由n?1?4个独立方程解出四个未知数，问题具有确定的解；若n?5，需要预先选定某些机构参数，才能有确
定的解，或根据其他条件取适当的解；而当n?5时，方程一般没有精确解，通常采用最优化设计方法求解。
2. P?R导引构件的综合
同样取位置1为参考位置，由给定连杆平面的三个位置和式（1-7）可得定斜率约束方程
xb1(yb2?yb3)?yb1(xb2?xb3)?(xb2yb3?xb3yb2)?0 （1-12）
将上式中的bj(xbj,ybj)(j?2,3)用位移矩阵表示成b1(xb1,yb1)的函数
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?xbj ?y?bj??1??xb1??d11j?????D1jyb1?d21j????????1????0d12jd22j0d13j??xb1????d23jyb1???1????1??(j?2,3) （1-13）
将式（1-13）代入式（1-12）并展开整理得到只包含b1(xb1,yb1)两个未知数的方程
Axb1?Ayb1?Dxb1?Eyb1?F?0 （1-14）
22式中
A?Cd212?Bd213B?1?d112C?1?d113D?Cd232?Bd233?d132d213?d133d212 （1-15）
E?Bd133?Cd132?d232d213?d233d212F?d233d132?d133d232式（1-14）为圆的一般方程，将其改写成圆的标准方程
(xb1?D2A)?(yb1?2E2A)?2D?E22?4AF24A （1-16）
式（1-16）表示圆心在(?D2A,?E2A)，半径为
D2?E2?4AF24A的圆，该圆称为导引滑块的轨迹
圆。也就是说，对于给定连杆平面的三个位置，其导引滑块铰接点b1的位置可在该圆上任取。 可见，对于给定连杆平面的三个位置，有无穷多个满足要求的导引滑块。这是由于要用一个方程（1-14）解两个未知数b1(xb1,yb1)的缘故。需要根据其他条件选择一个适当的解。
一般来说，设给定连杆平面精确位置数为n，可得到的定斜率约束方程数目为(n?2)，而所含未知数的数目为2，所以可选未知数数目为q?2?(n?2)?4?n。令q?0，即可得到导引刚体的曲柄滑块机构所能满足的最多精确点数4。若n?4，即给定连杆平面四个位置，可由
n?2?2个独立方程解出两个未知数，问题具有确定的解；若n?4，问题有无穷多组解，需要预先选定某些机构参数，才能有确定的解，或根据其他条件取适当的解；而当n?4时，方程一般没有精确解，通常采用最优化设计方法求解。
值得指出，根据以上方法理论上求得的平面连杆机构，并不总是可行的，很可能只能装配，而不能连续运动。所以应检验机构是否满足可动条件、曲柄存在条件和运动连续性条件等。
1.3.4 算例及程序设计
例1. 1 曲柄滑块机构的VB运行程序，以及二维动画演示，如图1- 5所示：
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