山东轻工业学院2012届本科生毕业设计（论文）
图1- 5
1.4 函数生成机构的综合
函数生成机构与刚体导引机构的区别在于，前者实现两连架杆相对于机架的运动要求，后者实现连杆相对于机架的运动要求。若能把两连架杆相对于机架的运动问题转化为连杆相对于机架的运动问题，函数生成机构的综合问题便迎刃而解。函数生成机构的综合思路就是应用运动倒置原理（相对运动不变原理），将实现主动件和从动件间给定函数关系的机构综合问题转化成一个相当的刚体导引问题，然后用刚体导引机构综合的方法去解决。
1.4.1 铰链四杆机构的相对位移矩阵及位移约束方程
如图1-6a所示，取坐标原点与a0重合，x轴正向沿a0b0，建立坐标系。因机构各构件的长度按同一比例增减时，并不影响机构各构件间的相对运动，所以取机架长a0b0?1，其他各构件的长度均为相对于机架的长度。则有a0(0,0)，b0(1,0)，待求设计参数为
a1(xa1,ya1)和b1(xb1,yb1)，共四个未知数。
图1-6 铰链四杆机构的运动倒置
设a0a1b1b0为机构的初始位置，当主动件a0a1转动角度?1j时、从动件b0b1相应地转动角度
?1j，机构到达a0ajbjb0的位置。假如将此位置的机构“刚化”后(各构件间无相对运动)绕b0点
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转过??1j角度(与?1j的方向相反)，从而使b0bj与b0b1与重合。此时，a0转到了a0'点，aj转到了a'j，机构到达假想新位置a0'a'jb1b0，如图1- 6 b所示。在此机构倒置过程中，相当于把整个机构的各构件都加了一个??1j的角位移，各构件间的相对运动不变，但各构件的绝对运动发生了改变。b0b杆的角位移为?1j??1j?0，相当于原来的连架杆固定在原位置上而转化为机架；
a0b0绕b0转过角位移??1j，相当于由原来的机架变成现在的连架杆；而a0a1由原位置运动到了
新位置a0'a'j 相当于由原来的连架杆变成了现在的连杆。可见该机构倒置过程将原来实现两连架杆的位置对应问题转化为连杆a0a1相对于机架b0b1由原位置a0a1运动到新位置a0'a'j的运动问题，从而转化为刚体导引问题。a0a1变为被 导构件，而b0a0和b1a1变为导引构件。所以，将
''式（1-6）中的(xaj,yaj)用(xaj,yaj)代替，(xa0,ya0)用(xb1,yb1)代替，即可得函数生成机构的位
移约束方程
(xaj?xb1)?(yaj?yb1)?(xa1?xb1)?(ya1?yb1)'2'222(j?2,?,n) （1-17）
如图1-6b所示，a0a1相对于机架b0b1由原位置a0a1运动到新位置a0'a'j，可以看作是先由a0平移到a0'，再绕a0'旋转?1j??1j两个运动的合成。于是，将式（1-5）中的?1j用(?1j??1j)代替，Pj和P1分别用a0'和a0代替，即可得到其平面相对位移矩阵如下
Dr1j?R(?1j??1j)??0?0a0?R(?1j??1j)a0?? （1-18）
1?'即
?R(?1j??1j)a?Dr1ja0??0?0'ja0?R(?1j??1j)a0??a0 （1-19）
1?'将（1-18）展开，并考虑到a0'?(1?cos?1j,sin?1j)和a0?(0,0)得相对位移矩阵
?d11j??d21j???0d12jd220jDr1jd13j??d23j?1???sin(?1j??1j)cos(?1j??1j)01?cos?1j??sin?1j??1??cos(?1j??1j)??sin(?1j??1j)??0? （1-20）
值得注意的是，在倒置运动中，原来的机架a0b0也是一个R?R导引构件，可将其作为迭代求解
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a1(xa1,ya1)和b1(xb1,yb1)的初值。
1.4.2 曲柄滑块机构的相对位移矩阵及位移约束方程
对实现函数用的曲柄滑块机构，要求曲柄转角和滑块位移实现预定对应位置，同样可用机构倒置法进行机构综合。图1-7所示，为简便起见，取曲柄转动中心a0(0,0)为坐标原点，x正向与滑块导路平行，建立坐标系。假设机构初始位置为a0a1b1，当曲柄a0a1转过角度?1j到达新位置a0aj时，滑块沿导路由b1移动s1j到达bj，机构处于新位置a0ajbj。将此位置机构“刚化”后沿导路移动?s1j，使b'j与b1重合，此时，a0转到了a0'点，aj转到了a'j，机构到达假想新位置a0'a'jb1。可见该机构倒置过程将原来实现曲柄和滑块的位置对应问题转化为新连杆a0a1相对于新机架（相对固定的滑块b1）由原位置a0a1运动到新位置a0'a'j的运动问题，从而转化为刚体导引问题。a0a1变为被导构件，而b1a1变为导引构件。所以，可以建立和式（1-17）相同的位移约束方程
图1-7 曲柄滑块机构的运动倒置
(xaj?xb1)?(yaj?yb1)?(xa1?xb1)?(ya1?yb1)''2'222(j?2,?,n) （1-17）
'a0a1相对于机架b1由原位置a0a1运动到新位置a0aj，可以看作是先由a0平移到a0'，再绕a0'旋转
?1j两个运动的合成。于是，可得到其平面相对位移矩阵如下
?R?1j??0?0'Dr1ja0?R?1ja0?? （1-21） 1?'?R即 a?Dr1ja0???1j0?0'ja0?R?1ja0??a0 （1-22） 1?10
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将（1-22）展开，并考虑到a0'?(s1j,0)和a0?(0,0)得相对位移矩阵
?d11j??d21j???0d12jd22j0d13j??d23j?1???cos?1j??sin?1j???0?sin?1jcos?1j0s1j??0 （1-23） ?1??Dr1j值得指出，当滑块由b1运动到bj的位移s1j是与图示所设方向相反时，式（1-23）中的s1j用?s1j来代替。
1.4.3 两连架杆对应位置及精确点的确定
以上讨论假设两连架杆若干对应位置已经确定，但通常要求用主动件和从动件的转角关系
???(?)模拟给定的函数关系y?f(x)，所以按给定函数关系综合四杆机构必须首先按一定比
例将给定函数y?f(x)转换成两连架杆的对应位置关系???(?)。
图1-8 主、从动件运动函数关系与转角关系对应转换图
为使主动件的输入转角?(?0????m)和从动件的输出角?(?0????m)分别与自变量
x(x0?x?xm)和函数y[f(x0)?y?f(xm)]对应成比例，如图1-8k?????x???y?所示，分别引入比例因子
?m??0xm?x0??j??0xj?x0?k????m??0f(xm)?f(x0)?j??0f(xj)?f(x0)
于是有
?j??0?k?(xj?x0),(j?1,2,?,n)(j?1,2,?,n)?j??0?k?[f(xj)?f(x0)], （1-24）
在机构综合时常用的是相对于位置1的转角
?1j??j??1?k?(xj?x1)?1j??j??1?k?(yj?y1)(j?2,3,?,n)(j?2,3,?,n)(1-25) 图1-9 切比雪
布精确点分布
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由于连杆机构固有的结构原因，机构实际所能实现的输入、输出运动函数曲线是不可能与理想要求的函数曲线完全吻合的，而只能在若干个有限点处机构所能实现的函数值y?g(x)能精确等于给定的函数值y?f(x)，这些点称为精确点。显然精确点取得越多，在精确点之间的各点机构所能实现的函数与给定函数间的误差就越小，但精确点越多，约束方程的数
目就越多，则计算越复杂，因此在保证工作要求的情况下，精确点的数目应尽量少。 另一方面，有限的机 构待定参数的数目决定了机构运动独立方程的数目，所以精确点数目不能超过待定机构参数的数目。为了有 选择的余地，通常应使精确点的数目少于机构参数的总数。在实际确定精确点的数目和位置分布时，一般可根据机构工艺动作要求确定，即选择工艺动作过程中必须保证的机构位置为精确点。若工艺上无特殊要求，可根据函数逼近理论确定，使理论曲线与实际曲线之间的总体误差尽量减小。精确点可按下式确定
xj?x0?0.5?x[1?cos(j??0.5?)],(j?1,2,?,n) （1-26）
式中，n为精确点或插值结点数目；?x?xm?x0；??180?/n。此种精确点分布法亦称为切比雪夫精确点布置法，如图1—9所示。
1.4.4 实现三个精确位置函数生成机构的综合
设由给定函数确定出两连架杆的三组对应位置?j??(?j)(j?1,2,3)或
sj?s(?j)(j?1,2,3)，设计平面四杆机构。此即为给定三个精确位置的函数生成机构的机构综
合问题。
取位置1为参考位置，则由式（1-17）可得两个位移约束方程
(xaj?xb1)?(yaj?yb1)?(xa1?xb1)?(ya1?yb1)'2'222(j?2,3) （1-27）
'',yaj)(j?2,3)用相对位移矩阵表示成a1(xa1,ya1)的函数 将上式中的a'j(xaj
?xaj? ?yaj??1??xa1??d11j?????Dr1jya1?d21j????????1????0d12jd22j0d13j??xa1????d23jya1???1????1??(j?2,3) （1-28）
注意式（1-28）中的相对位移矩阵Dr1j及其元素，对于铰链四杆机构由（1-20）式计算，对于曲柄滑块机构由（1-23）式计算。将式（1-28）代入式（1-27）得到只包含a1(xa1,ya1)和b1(xb1,yb1)四个未知数的方程。用两个方程解四个未知数xa1,ya1,xb1,yb1，有无穷多组解。可以预先给定四个未知数中的任意两个xb1,yb1或xa1,ya1，从而得到只含有两个未知数的两个线性方程，进而求出另外两个未知数。
（1） 设给定b1(xb1,yb1)，注意到这里的b1(xb1,yb1)相当于刚体导引问题中的a0(xa0,ya0)，所以
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