第五章 多元函数微分学
我们已经讨论了一元函数微积分学，运用一元函数微积分学已能解决不少实际问题。但是在大量的实际问题中，遇到的却是多个变量的问题，仅有一元函数微积分的方法，还不足以解决问题。本章在一元函数微积分的基础上，讨论多元函数的微分法及应用。多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，但两者之间又有一些本质上的差异，如一元函数有单调性的概念，而多元函数就没有简单的相仿概念，这种差异主要是由多元函数的特殊性产生的。
本章主要叙述二元函数的微分学。这是因为由一元函数到二元函数，单与多的差异已充分显露出来，而二元、三元以至n元函数之间，仅有形式上的差异，而本质上是相同的。
§5-1 二元函数的极限与连续
一、基本内容提要
1. 二元函数的概念
设D是平面上的一个点集,若对任意点P(x,y)?D,变量z按照一定法则都f有唯一确定的值和它对应,即P(x,y)?z,其中f为某一定法则,则称z是变量x,y的二元函数(或称z为点P的函数),记作z?f(x,y)(或z?f(P)),D称为f(x,y)的定义域. 2. 二
元函数的极限
(1)分析定义：设P0(x0,y0)是函数f(x,y)的定义域D内的聚点,若???0,????0,使?P(x,y)?D?U(P0,?),都有|f(P)?A|??成立,则称常数A为函数f(x,y)在(x,y)?(x0,y0)时的极限,记作(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或f(x,y)?A((x,y)?(x0,y0)).(2)描述性定义：设P0(x0,y0)是函数f(x,y)的定义域D内的聚点,若动点P(x,y)?D以任何方式趋近于P0时,f(x,y)总无限接近于一个确定的常数A,则称常数A为函数f(x,y)在(x,y)?(x0,y0)时的极限. 3. 二
元函数的连续性
(1)定义：若f(x,y)有U(P0(x0,y0,z0))内有定义,且(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0,z0)处连续.(2)多元初等函数在其定义区域内是连续的.(3)最值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则?P1,P2?D,使?P?D,都有f(P1)?f(P)?f(P2),其中f(P1)?minf(P),f(P2)?maxf(P).P?DP?D(4)介值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续,M,m分别是f(x,y)在D上的最大值和最小值,则?c?(m,M),?P0?D,使f(P0)?c.注：上述最值定理、介值定理对三元及三元以上的函数同样成立.
二、示例
题型一 多元函数的概念
例1解求z?x?4x?y?ln(y?x)的定义域.22??(x?2)?y?4即?(如右图)2??y?x
22222??x?4x?y?0,?2??y?x?0例2y??22设f?x?y,??x?y,求f(x,y),f(x?y,xy).x??
解u?x?y?u?x???1?v设?y,则?,所以uv?v???y??x1?vu(1?v)u(1?v)?u??uv?f(u,v)?????,???2(1?v)1?v?1?v??1?v?22222从而f(x,y)?x(1?y)1?y22,f(x?y,xy)?(x?y)(1?xy)1?xy.例3解设f(x,y)?x?2y,求f(xy,f(x,y)).f(xy,f(x,y))?xy?2(x?2y)?xy?2x?4y.
例42??y2?y?22设f?xy,,xy?.??x?y,求f?x???x?解??xy?u?2?x?设?y,则??v???x?y?u33uv,所以uv2?u?f(u,v)????3?uv?再令u?y2?3uv?2,x,v?xy,得?y2?y2??xf?,xy????x??3y3???????2?3y3?2??22?1?y?y?2?1?.2x?x?y2
题型二 二元函数的极限
例5求下列极限：x?yx?y22(1)limx???y???.x2(2)lim?x?0y?asin(2xy)yx(a为常数).
1xcos1y.1??(3)lim?1??x???x?y?ax?y(a为常数).(4)lim(3x?y)sinx?0y?0解(1)因x???,y???,故不妨设x?0,y?0,从而0?所以limx?yx?y22x?yx?y22?1x?1y?0(x???,y???),x???y????0.(2)lim?x?0y?asin(2xy)yxx2?lim?x?0y?a2xyyx?lim?2x?0.x?0xx1??(3)lim?1??x???x?y?a(4)因sin1xx?y??1???lim??1???x???x???y?ax?y?e.cos1y为有界函数,而lim(3x?y)?0,所以x?0y?0lim(3x?y)sinx?0y?01xcos1y?0.
例6解说明limxy224x?0y?0x?y不存在.x,则xy224选用路径y?klim?x?0y?kxx?y?lim?x?0kx2224x(1?k)?k241?k,显然其值随k取值不同而不同,所以极限lim不存在.xy224x?0y?0x?y
讨论下列函数在点(0,0)处的连续性.(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)2例72?xy,?(1)f(x,y)??x2?y4?0,?2
?xy(x?y),?22(2)f(x,y)??x?y?0,?解(1)由例6知极限(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limx?0y?0xy224x?0y?0x?y不存在,所以f(x,y)在点(0,0)处不连续.?x?rcos?(2)令?,则y?rsin??0?|f(x,y)|?rcos?sin?(cos??sin?)r22422?|rsin4?|2?r?0(x?0,y?0),故limf(x,y)?0?f(0,0),x?0y?0所以f(x,y)在点(0,0)处连续.例8设f(x,y)在D??(x,y)|x?y?r222
?内连续,且x?y?r2lim22f(x,y)?a,证明f(x,y)在D上至少可取得最大值和最小值之一.证因x?y?r2lim22f(x,y)?a,补充定义f(x,y)?a,当x?y?r,222则f(x,y)在有界闭区域D??(x,y)|x?y?r222?上连续,故?P1(x1,y1),P2(x2,y2)?D,使?P(x,y)?D有f(P1)?f(P)?f(P2).若P1,P2??D,则f(P1)?f(P2)?a,即f(x,y)是常数,那么D内任一点处函数取得最大值也是最小值,结论成立.若P1,P2至少有一不属于?D,则结论也成立.
§5-2 偏导数和全微分
一、基本内容提要
1. 偏导数和高阶偏导数
(1)偏导数的定义：设z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,则?z?x??limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)(xx?00,y0)?x,亦记作?f?x,zx(x0,y0),fx(x0,y0)；(x0,y0)?z??y)?f(x0,y0)?y??limf(x0,y0x?0(x?y,0,y0)亦记作?f?y,zy(x0,y0),fy(x0,y0).(x0,y0)(2)二阶偏导数：设z?f(x,y)在区域D内具有偏导数fx(x,y),fy(x,y),如果这两个偏导数的偏导数仍然存在,则称这个偏导数的偏导数为z?f(x,y)的二阶偏导数,记为zxx(x,y),zxy(x,y),zyx(x,y),zyy(x,y).如果zxy(x,y),zyx(x,y)在D内连续,则在D内有zxy(x,y)?zyx(x,y).微分
(1)定义：如果z?f(x,y)在(x,y)处的全增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可以表示为?z?A?x?B?y?o(?),其中,A,B不信赖于?x,?y而仅与点(x,y)有关,??(?x)2?(?y)2,则称函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微,称A?x?B?y为z?f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记作dz,即dz?A?x?B?y?Adx?Bdy.(2)可微的必要条件：(i)若z?f(x,y)在点(x,y)处可微,则在点(x,y)处f(x,y)连续.(ii)若z?f(x,y)在点(x,y)处可微,则在点(x,y)处fx(x,y),fy(x,y)存在,且z?f(x,y)有点(x,y)处的全微分dz?fx(x,y)dx?fy(x,y)dy.(3)可微的充分条件：若z?f(x,y)在点(x,y)处fx(x,y),fy(x,y)连续,则z?f(x,y)在点(x,y)处可微. 3. 复合函数求导法
2. 全