5.函数梯度的定义?P(x,y)?D,向量设函数z?f(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则gradf(x,y)?fx(x,y)i?fy(x,y)j称为函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度.此时有?f?lP?fx(x,y)cosa?fy(x,y)cos??gradf(x,y)?el?e)?gradf(x,y)?cos(gradf,l?f可见,当(gradf?,el)?0即gradf(x,y)与el同向平行时,?l达到最大值.简言P之,函数f(x,y)在点P(x,y)处的方向导数中,以沿函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度方向的方向导数为最大,且maxl?f?lP?gradf(x,y).对三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度,可类似定义为gradf(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k.同样有?f?lP?gradf(x,y,z)?el具有上述类似的结论.
?f?lP06.方向导数的含义定方向l的变化率的大小.是函数f(x,y)或f(x,y,z)在点P0处沿任一指
二、示例
例1求函数u?lnx??y?z22?在点A(1,0,1)沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数.解????21??2AB?(2,?2,1)?l,则el??,?,?,而33??3?u?x?u?y?u?z故1??1gradu(A)??,0,?,?22?从而?u?lAAAA?x??x??x?1y?z1y?z1y?z222222A?12,?yy?z22A?0,12?zy?z22A?,1??221?1?1?gradu(A)?el??,0,???,?,??.?22??333?2例2求u?x?xy?y在点M(?1,1)处沿方向n?22015(2,1)的方向导数,并指出u在该点沿哪个方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多少？u沿哪个方向减少得最快？又沿哪个方向u的值不变？解因gradu(M)?(2x?y,?x?2y)M?(?3,3),故?u?n从而有：方向导数?u?l?u?lMM0M?gradu(M)?n??035.取得最大值的方向为梯度gradu(M)?(?3,3)的方向；方向导数的最大值为梯度的模gradu(M)?32；u沿?gradu(M)?(3,?3)方向减少最快；沿与gradu(M)?(?3,3)垂直的方向即l?(1,1)或?l?(?1,?1)方向u的值不变.例3函数f(x,y)?x?y在点(0,0)处沿任意方向的方向导数22?f?l(0,0)是否存在？又fx(0,0)和fy(0,0)是否存在？解设el?(cos?,sin?)为任一方向的单位向量,则?f?l(0,0)?lim?t?0f(tcos?,tsin?)?f(0,0)ttcos??tsin?tf(x,0)?f(0,0)x2222?lim?t?0?lim?t?0|t|t?1.即函数f(x,y)点(0,0)处沿任意方向的方向导数均为1.又?f?x不存在,同理?f?y(0,0)(0,0)?limx?0?lim|x|xx?0亦不存在.
例4设u?x?3yz?5,l是在点M(1,2,?1)处与三坐标轴构成等角的射?u?lM2线,求函数u在点M处的方向导数解.设el?(cos?,cos?,cos?)的l方向的单位向量,由题意有?cos??cos??cos??222?cos??cos??cos??1所以cos??cos??cos???即?333el???,,33?3又?u?x故gradu(M)?(2,3,?6),从而?u?lMM33,??.??u?zM?2xM?2,?u?yM??3zM?3,??3yM??6,?333?3?gradu(M)?el?(2,3,?6)???,?,?.???333?3?
例522设有一小山,其底面所在平面设为xOy面,且占有xOy面上区域D：22x?y?xy?75,小山的高度函数为h(x,y)?75?x?y?xy,(x,y)?D.(1)设M(x,y)为区域D上的任一点,求h(x,y)在点M处的方向导数的最大值g(x,y).(2)在山脚下找出一个上山坡度最大的点M0(x0,y0).解(1)因gradh(x,y)?(?2x?y,?2y?x),故g(x,y)?|gradh(x,y)|?2(?2x?y)?(?2y?x)?22225x?5y?8xy.22(2)令f(x,y)?g(x,y)?5x?5y?8xy.由题意,只需求条件极值问题22??maxf(x,y)?5x?5y?8xy,?22??s.t.75?x?y?xy?0作L(x,y,?)?5x?5y?8xy??(75?x?y?xy),令?????????解得四个驻点M1(5,?5),由于f(M1)?f(M2)?450,f(M3)?f(M4)?150,M2(?5,5),M3(53,53),M4(?53,?53).?L?x?L?y?L???10x??(y?2x)?0?10y??(x?2y)?0?75?x?y?xy?0222222所以上山坡度最大的点为M1(5,?5)或M2(?5,5).
自我检测题(五)
(1)设f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的邻域内连续,问(i)?(x,y)在什么条件下,fx(0,0)fy(0,0)才能存在？(ii)?(x,y)在什么条件下,f(x,y)的(0,0)处可微？x???y(2)设z?f?xy,??g?y??x?2?z?(2),其中f,g?C,求.??x?y?13x?y,试求f(x,y).32(3)已知fx(x,y)?xy?x,fy(x,y)?(4)试证：可微函数z?f(x,y)只是ax?by的函数的充要条件是b?z?x?a2?z?y2(ab?0).?u?y222(5)设函数u?u(x,y)满足方程?u?x??0,且u(x,2x)?x,ux(x,2x)?x,