例13解设z?uv,x?ecosv,y?esinv,求uu?z?x?y,?z.由题意可知,u?u(x,y),v?v(x,y),故?z?x?v?u?x?u?v?x,?z?y?v?u?y?u?v?y.u??x?ecosv对?两边关于x求导,得u??y?esinv?u?v?uu1?ecosv??esinv????x?x??0?eusinv??u?eucosv??v??x?x?解得?u?x?cosveu,?v?x??sinveu.u??x?ecosv对?两边关于y求导,得uy?esinv???u?v?uu0?ecosv??esinv???y?y???1?eusinv??u?eucosv??v??y?y?解得?u?x所以?z?x?z?y??vcosv?usinveeu?sinveu,?v?x??cosveu.,.vsinv?ucosvu
.t?0例14解2?x?t(1?t)?0dy已知y?y(x)由方程组?y确定,求2dxte?y?1?0?方程组两边对t求导,得
??x?t?1?2t?0?yy??e?te?yt??yt??0解得?x?t?2t?1?yy?ee??yt???y1?tey?所以dydx又yy?eyt?(2t?1)?e[2y?(2t?1)yt?]?dy?.???22(2t?1)y?dx?t?yt?x?t?ey(2t?1)y.当t?0时,x?0,y??1,故x?t所以??dy????dx?tx?tt?0t?0??1,yt?t?0??e,?1??dy????dx?t?2e(1?e),t?0?1?1dydx例152t?02?t?0?2e(e?1?1?1).
.已知u?u(x,y)由方程u?f(x,y,z,t)和g(y,z,t)?0,h(z,t)?0确?u?x,?u?y定,其中f,g,h均为可微函数,求解?g(y,z,t)?0由题意可知z?z(y),t?t(y)由?确定,对y求导,得h(z,t)?0?dzdt????g?g?g?0yzt?dydy???h?dz?h?dt?0zt?dydy?解得
???????dzdydtdy??g?h?ytg?h??gt?h?zztg?h?yzg?h??gt?h?zzt?所以?u?x?u?y?fx?,?fy??fz?dzdy?ft?dtdy?fy??g?h?f??g?h?f?yztytzg?h??gt?h?zzt.
§5-3 多元函数微分学的应用
一、基本内容提要
1. 微分学在几何上的应用
(1)空间曲线的切线与法平面(i)设曲线?以参数方程给出x?x(t),y?y(t),z?z(t),P0(x0,y0,z0)为?上一点?对应参数t?t0,则点P0处的切线方程为x?x0x?(t0)点P0处的法平面方程为x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0,T??(x?(t0),y?(t0),z?(t0))称为?在点P0处的切向量.取正号时,T的指向与参数t增大时P0的移动走向一致.(ii)设曲线?以一般方程给出?F(x,y,z)?0??G(x,y,z)?0则?在点P0处的切向量为T??(Fx,Fy,Fx)?(Gx,Gy,Gz).(2)曲面的切平面与法线设曲面?的方程为F(x,y,z)?0,P0(x0,y0,z0)为?上一点?则曲面?在点P0处的切平面方程为Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0,点P0处的法线方程为x?x0Fx(P0)?y?y0Fy(P0)?z?z0Fz(P0),?y?y0y?(t0)?z?z0z?(t0),
n??(Fx,Fy,Fx)称为曲面?在点P0处的法向量.
2. 多元函数的极值与Lagrange乘数法
(1)二元函数的极值(i)函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的必要条件若f(x0,y0)是f(x,y)的极值,且f(x,y)在点(x0,y0)处可偏导,则有fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0,即(x0,y0)是f(x,y)的驻点.(ii)函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的充分条件若f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且具有二阶连续偏导数,如果(x0,y0)是f(x,y)的驻点,记A?fxx(x0,y0),B?fxy(x0,y0),C?fyy(x0,y0),则(a)当AC?B?0时,f(x0,y0)是极值,且当A?0时是极大值,当A?0时是极小值；(b)当AC?B?0时,f(x0,y0)不是极值；(c)当AC?B?0时,需作进一步讨论.注：若f(x,y)在(x0,y0)处有定义,但fx(x0,y0),fy(x0,y0)不存在,f(x0,y0)仍有可能是极值.(2)条件极值与Lagrange乘数法设z?f(x,y)是目标函数,在条件?(x,y)?0下,求函数z?f(x,y)的极值的步骤：(i)作Lagrange函数L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y),其中?称为Lagrange乘数.(ii)令Lx?0,Ly?0,L??0得方程组?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0.???(x,y)?0(iii)解上述方程组得(x0,y0,?0),则(x0,y0)是该问题的可能极值点,至于是否确为极值点,可由具体问题讨论确定,在实际问题中,常常可根据问题本身的意义确定.上述Lagrange乘数法可以推广到目标函数是三元及三元以上的多元函数,或附加条件多于一个的情形.222
二、示例
题型一 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线
例1设曲线?：x?t,y?2t,z??t23x?1和直线l：?2?2y?1?3z,求?3的与l垂直的切线.解直线l的方向向量?11?s??3,,?,?23?曲线?的切线的方向向量T?(1,4t,?3t).由题意,s?T,即s?T?0,亦即3?2t?t?0,解得t?1,t??3.22当t?1时,切点为(1,2,?1),T?(1,4,?3),切线方程为x?11x?31?y?24y?18?12?z?1?3.当t??3时,切点为(?3,18,27),T?(1,?12,?27),切线方程为??z?27?27.
例29?222x?y?z???4求曲线?对应于x?1的点处的切线方程.17?3x2?(y?1)2?z2???4?1??1?对应于x?1,曲线上的点为P1?1,,1?,P2?1,,?1?.由此可知,所求切?2??2?T?(x,y,z)?(3x,y?1,z).解线有两条.曲线上任一点P(x,y,z)处的切向量为点P1处的切向量1??1??TP1??1,,1???3,?,1??(1,2,?2),?2??2?对应的切线方程为x?11点P2处的切向量1?1???TP2??1,,?1???3,?,?1??(1,2,2),?2??2?对应的切线方程为x?11y??12?z?1.22y??12?z?1.2?2