例3?x?aetcost?t222已知曲线?：曲?y?aesint(a?0)在锥面上x?y?z上,证明：?t?z?ae曲线?上任一点处的切向量线?上任一点处的切线与过该点的锥面的母线的交角是定角.证??ae(cost?sint,sint?cost,1),过该点的锥面的母线的方向向量s?(x,y,z)?ae(cost,sint,1).设?与s的交角为?,则cos??tt??s|?||s|?(cost?sint,sint?cost,1)?(cost,sint,1)3?2?26,由?上点的任意性可知,命题成立.
例4设方程z??y?2223x?y?z?xf??确定函数z?z(x,y),其中f可微,证?x?明：曲面z?z(x,y)上任一点处的切平面在z轴上的截距与切点到原点(0,0,0)的距离之比为常数,并求此常数.证设P0(x0,y0,z0)是曲面上任一点,记F(x,y,z)?z?则点P0处的法向量为yz??x22n?(Fx,Fy,Fz)P0??0?3x0f(u0)?x0y0f?(u0),0?x0f?(u0),1?0?,r0r0??r0其中,r0?x0?y0?z0,u0?222?y?2223x?y?z?xf??,?x?y0x0.所以切平面方程为?x0??y0?22?(u0)(x?x0)??(u0)(y?y0)?3xf(u)?xyf?xf00000?r??r??0??0?z????1?0?(z?z0)?0.r0??令x?y?0,得切平面在z轴上的截距z0??x0??y0??22???3xf(u)?xyf(u)x??xf(u)y?1?00000?000?0??z0?r?rr0??0??0??Cz?z1?0r0?r0[z0?r0?3x0f(u0)]z0?r03?r0[z0?r0?3(z0?r0)]z0?r0??2r0.P0(x0,y0,z0)到原点(0,0,0)的距离为d?所以Czd命题得证.??2r0r0??2?常数.x0?y0?z0?r0,222
例5?x?y?b?022设直线l：在曲面z?x?y于点(1,?2,5)处的切??x?ay?z?3?0过直线l的平面束方程为x?ay?z?3??(x?y?b)?0,平面?上,求a,b之值.解即(1??)x?(a??)y?z?3??b?0,其法向量为n??(1??,a??,?1).曲面z?x?y在点(1,?2,5)处的法向量n?(2x,2y,?1)(1,?2,5)?(2,?4,1),由题设知n??n,即1??2解得?a???4??11,22??1,又点(1,?2,5)在平面?上,故a??5.(1??)?2(a??)y?8??b?0,将??1,a??5代入得b??2.例6分析已知曲面e2x?z?f(?y?2z),且f(u)可微,证明：曲面为柱面.柱面是由平行于定直线的母线沿一定曲线移动而成的曲面,故柱面上任一点处的法向量一定垂直于定直线.反之,一曲面上任一点处的法向量垂直于一定向量,则该曲面一定是柱面.证设F(x,y,z)?e2x?z?f(?y?2z),则曲面上任一点处的法向量为2x?z2x?z,?f?,?e?n?(Fx,Fy,Fz)?(2e?e记s?(2,0,?1)?(0,?,为一常向量,因2x?z2f?)(2,0,?1)?f??(0,?,2),2)?(??,?22,?2?),n?s?0,所以n?s,故曲面是母线平行于定向量s?(??,?22,?2?)的柱面.
例7已知曲面方程xyz?x(y?z)?a(a?0).证明：23(1)曲面上两点P(?a,?a,a),Q(?a,a,?a)处的法线相交；(2)曲面在P,Q处的两个切平面的交线是x?3a?2y?2z.证(1)设F(x,y,z)?xyz?x(y?z)?a,则Fx?yz?2x(y?z),故Fx(?a,?a,a)??a,Fx(?a,a,?a)??a,于是,点P处的法向量为nP?(?a,0,2a),法线方程为x?a?a点Q处的法向量为nQ?(?a,2a,0),法线方程为x?a?a因????2(nP?nQ)?PQ??a0?a22222222223Fy?xz?x,2Fz?xy?x,2Fy(?a,?a,a)?0,Fy(?a,a,?a)?2a,2Fz(?a,?a,a)?2a；Fz(?a,a,?a)?0.2?y?a0?z?a2a2.?y?a2a2?z?a02.02a22a0?4a?4a?0,552a?2a故两法线共面.又两法线不平行(因nP与nQ不行),所以两法相交.(2)点P处的切平面方程为?a(x?a)?2a(z?a)?0,即x?3a?2z.点Q处的切平面方程为?a(x?a)?2a(y?a)?0,即x?3a?2y.所以两切平面的交线为?x?3a?2z??x?3z?2y即x?3a?2y?2z.2222
题型二 函数的极值
例8的极值.解求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所确定的二元函数z?f(x,y)222方程两边分别对x,y求偏导,得4x?2z4y?2z?z?x?z?y?8z?8x?8x?z?y??z?x?z?y??z?x?0,(1)(2)?0,可解得?z?x令?z?x?0,?z?y?0,??4x?8z8x?2z?1,?z?y??4y8x?2z?1.?16?并与原方程联立,解得驻点(?2,0),?,0?,且?7?z(?2,0)?1,8?16?z?,0???.7?7?在方程(1)两边分别对x,y求偏导,方程(2)两边对y求偏导,得?z?z?z?z??z?4?2??2z?16?8x??0,?222?x?x?x?x??x?2?z?z?x?y?2z22222
?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0,?z?z?z??z?4?2??2z?8x??0,222??y?y?y?y??在(?2,0)处(z?1)有A?故?4?AC?B????0,15??22222?z?x2?415,B??z?x?y?0,C??z?y2?415,A?415?0,所以z(?2,0)?1为极小值.8??16??在?,0?处?z???有7??7??A?故?4?AC?B?????0,?15?22?z?x22??415,B??z?x?y2?0,C??z?y22??415,A?415?0,8?16?所以z?,0???为极大值.7?7?
例9证已知x,y,z为实数,且e?y?|z|?3,求证：ey|z|?1.由题设,|z|?3?e?y,且e?y?3,令f(x,y)?ye(3?e?y),2xx2x2x2x2x2(x,y)?D??(x,y)|e?y?3?,x2易见D是有界区闭区域,f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必有最大值和最小值.fx?ye(3?2e?y),fy?2ye(3?e?2y),令fx?0,fy?0,得驻点(0,1),(0,?1)以及(x,0),其中x?ln3.因f(0,1)?f(0,?1)?1,且在边界e?y?3上f(x)?0.故在D上x2xx22xx2f(x,0)?0,
0?f(x,y)?1,即ey|z|?1.例10小值.解因函数在闭区域D??(x,y)|x?y?25?上连续,故由最值定理知,在2222x2
22求函数z?x?y?12x?16y在闭区域x?y?25上的最大值和最D上函数必有最大值和最小值.令??zx?2x?12?0???zy?2y?16?0解得(x,y)?(6,?8)?D,故函数在D内无驻点,从而最大值和最小值一定在D的边界x?y?25上取得.设L(x,y,?)?x?y?12x?16y??(x?y?25),令?????????由(1)(2)得x?代入(3)有?6???8???????25,?1????1???解得22222222?L?x?L?y?L???2x?12?2?x?0?2y?16?2?y?0?x?y?25?022(1)(2)(3)61??,y??81??,?1??1,所以驻点为(3,?4),(?3,4).计算函数值z(3,?4)??75,故zmin?z(3,?4)??75,?2?3,z(?3,4)?125,zmax?z(?3,4)?125.