例11相切.解确定正数a,使椭球面Sa：x?2y?3z?a与平面?：x?2y?3z?62222设切点为M(x0,y0,z0),则点M处切平面的法向量(x0,2y0,3z0)应平行x012y0?23z03于平面?的法向量(1,?2,3),故??,即y??x0,因点M在平面?上,于是x0?2y0?3z0?6.由(1)(2)解得x0?1,所以a?x0?2y0?3z0?6,即a?6.22222222z?x0.(1)(2)y0??1,z0?1.例12求函数f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz在球面x?y?z?5r(r?0)5?3?a?b?c?上的最大值,并证明：?a,b,c?R,有abc?27??.5??解考察条件极值?maxf(x,y,z)?lnx?lny?3lnz?2222x?y?z?5r,x?0,y?0,z?0.?s.t.设L(x,y,z,?)?lnx?lny?3lnz??(x?y?z?5r),令??????????????L?x?L?y?L?z?L?x???1x1y3z22222?2?x?0?2?y?0?2?z?0222(1)(2)(3)(4)?x?y?z?5r?0
由(1)(2)(3)得x??代入(4)得212?,y??212?12r2,z??232?,???于是得驻点(r,r,,3r).因在第一卦限内球面的三条边界线上,f(x,y,z)???,3r)是球面内的唯一驻点,所以3r?ln(33r).5故fmax在球面的内部取.又因(r,r,fmax?f(r,r,从而?x?0,y?0,z?0有3r)?lnr?lnr?3lnlnx?lny?3lnz?ln(33r),即xyz?33r.又r?故52222355x?y?z5,?x?y?z?2xyz?33??,5??3222亦即?x2?y2?z2?xyz?27??,5??2265令x?a,y?b,z?c,得5222?a?b?c?abc?27??.5??3例13积最小.解试求a,b之值,使得椭圆xa22?yb22?1包含圆x?y?2y,并且其面22所球椭圆必与圆x?y?2y相切,并将圆包含在其内部(如下图).故22在椭圆上任一点(x,y)处,函数f(x,y)?x2?(y?1)2?1,即函数f(x,y)?x2?(y?1)2在条件x22a2?yb2?1下的最小值是1.作L(x,y,?)?x2?(y?1)2????x2y2??a2?b2?1??,令??L??0??x?2x?2?xa2??L??2(y?1)?2?y??yb2???Lx22????a2?yb2?1?0若x?0,则由(1)得???a2,代入(2)得y?1?a2b2?a2,再将其代入(3)中得x2?a2?b2??1??(b2?a2)2?.?因fmin?f(x,y)?1,故a2?1?b2?a4??(b2?a2)2???(b2?a2)2?1,从而有a2b2?a4?b2?0.为求a,b的值,使椭圆有最小面积?ab,令M(a,b,?)?ab??(a2b2?a4?b2),令??M???b?2?ab2?4?a3?0??a??M???b?a?2?a2b?2?b?0(1)(2)(3)(4)解得b?2a,代入(4)得a?此时,椭圆面积A1??ab?若x?0,则由xa222462,b?322,332?.f(x,y)?1得?yb22?1得y?b.将x?0,y?b代入b?2,于是点(0,2)是椭圆xa22?y242a2?1与x?(y?1)?1相切的点,从而在点(0,2)处?1,即a?2,22它们的曲率相同,进而得此时,椭圆的面积A2?22??故当a?例14332??A1,62,b?3222时,椭圆面积最小.2
2若在x?y?1时,f(x,y)连续且偏导数存在,又|f(x,y)|?1,求22证：?(x0,y0)??(x,y)|x?y?1?,使解22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?16.222记D??(x,y)|x?y?1?,D??(x,y)|x?y?1?,令?(x,y)?f(x,y)?2(x?y),(x,y)?D,则??CD,且在D内存在偏导数.当x?y?1时,?(x,y)?f(x,y)?2,此时1??(x,y)?3.倘若?(x,y)仅在D的边界上取得最小值1,则?(x,y)?D,有f(x,y)?1.于是f(0,0)??(0,0)?1,这与|f(x,y)|?1矛盾.所以?(x0,y0)?D,使?(x0,y0)为最小值,从而有?(x0,y0)????x(x0,y0)?0,y即fx(x0,y0)??4x0,所以fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?16(x0?y0)?16.22222222fy(x0,y0)??4y0,
§5-4 方向导数和梯度
一、基本内容提要
1.方向导数的定义设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有?x?x0?tcos?定义,P(x0?tcos?,y0?tsin?)是从点P0发出的射线l：?(t?0)y?y?tsin?0?上一点,且P?U(P0).若点P沿着射线l趋近于P0即|PP0|?t?0时,t?0?lim?f(x0?tcos?,y0?tsin?)?f(x0,y0)t?f?lP0存在,则称其为函数z?f(x,y)在点P0处沿着方向l的方向导数,记作?f?lP0,即?lim?t?0f(x0?tcos?,y0?tsin?)?f(x0,y0)t.2.偏导数fx(P0),fy(P0)与方向导数设射线l方向的单位向量为el,则?f?lP0的关系fx(P0)存在?当el?(1,0)及el?(?1,0)时同理,fy(P0)存在?当el?(0,1)及el?(0,?1)时由此可知,??ffx(P0),fy(P0)存在????l?f?lP0存在且相等；?f?lP0存在且相等.存在(其中l为任一射线).P0
3.函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任一方向的方向导数存在的充分必要条件及计算公式定理若z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微,则f(x,y)在点P0处沿任一方向的方向导数存在,且有?f?l其中(cos?,cos?)?el.4.三元函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处沿方向el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数定义为?f?lP0?fx(P0)cos??fy(P0)cos?,P0?lim?t?0f(x0?tcos?,y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)t.同样,f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微,则f(x,y,z)在点P0处沿任一方向l的方向导数为?f?lP0?fx(P0)cos??fy(P0)cos??fz(P0)cos?,其中(cos?,cos?,cos?)?el.